Encontre a solução geral das EDOs homogêneas, que são de coeficientes constantes e também do tipo Euler-Cauchy:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO homogênea de Euler–Cauchy
x² y’’ – 7x y’ + 16 y = 0
com x > 0. O conteúdo é EDO de Euler–Cauchy, e vamos precisar usar a substituição y = x^m e derivar a equação característica (ou indicial).
x² y’’ – 7x y’ + 16 y = 0
com x > 0. O conteúdo é EDO de Euler–Cauchy, e vamos precisar usar a substituição y = x^m e derivar a equação característica (ou indicial).
Passo 2
Assumimos a forma y = x^m. Então calculamos as derivadas e substituímos na EDO:
Substituindo em
temos
o que leva à equação característica m(m-1) - 7m + 16 = 0.
Passo 3
A equação característica é
Calculamos o discriminante
o que implica uma raiz dupla
Passo 4
Como a raiz m = 4 é de multiplicidade 2, a solução geral da EDO de Euler–Cauchy é dada por
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Substituindo m = 4, obtemos a solução final.
Resposta
y(x) = \bigl(C_1 + C_2 \ln x\bigr),x^4