Encontre a solução geral das EDOs homogêneas, que são de coeficientes constantes e também do tipo Euler-Cauchy:
x^2 y^prime prime-7 x y^prime+16 y=0, x>0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO homogênea de Euler–Cauchy
x² y’’ – 7x y’ + 16 y = 0
com x > 0. O conteúdo é EDO de Euler–Cauchy, e vamos precisar usar a substituição y = x^m e derivar a equação característica (ou indicial).

Passo 2

Assumimos a forma y = x^m. Então calculamos as derivadas e substituímos na EDO:
y = x^m,
y' = m x^m-1,
y'' = m(m-1)x^m-2
Substituindo em
x^2 y'' - 7x y' + 16y = 0
temos
x^2igl[m(m-1)x^m-2r] - 7xl[m x^m-1r] + 16 x^m = x^migl[m(m-1) - 7m + 16r] = 0, 
o que leva à equação característica m(m-1) - 7m + 16 = 0.

Passo 3

A equação característica é
m(m-1) - 7m + 16 = m^2 - 8m + 16 = 0
Calculamos o discriminante
Δ = (-8)^2 - 4·1·16 = 64 - 64 = 0,
o que implica uma raiz dupla
m = 82 = 4

Passo 4

Como a raiz m = 4 é de multiplicidade 2, a solução geral da EDO de Euler–Cauchy é dada por
y(x) = C1 x^m + C2 x^m ln x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Substituindo m = 4, obtemos a solução final.

Resposta

y(x) = \bigl(C_1 + C_2 \ln x\bigr),x^4

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