1. (a) lim (x, y) (0,0) 3x^2+2 y^2
    (b) lim (x, y) (0,0) x+y2 x^2+y^2
  2. (a) lim (x, y) (0,0) x-yx^2+y^2
    (b) lim (x, y) (0,0) cos x yx^2+y^2

Passo 1

A questão pede para calcular limites de funções de duas variáveis quando (x,y) se aproxima de (0,0). O conteúdo envolve limites em várias variáveis e análise de existência ou tendência ao infinito. Vamos usar exploração por trajetórias retas e propriedades dos limites, verificando se a função tende a um valor finito, diverge para infinito ou apresenta trajetórias com resultados diferentes.

Passo 2

Para lim(x,y)to(0,0) 3x^2+2y^2, note que x^2+2y^2>=0 e tende a zero quando (x,y)to(0,0), enquanto o numerador é a constante 3. Assim, a fração cresce sem limite, indo para +infty.

Passo 3

Considere lim(x,y)to(0,0) x+y2x^2+y^2. Fazendo y=mx, obtemos
x(1+m)x^2(2+m^2) = 1+m2+m^2cdot1x
Para mneq -1 a expressão diverge ( +infty ou -infty conforme o sinal de x), mas para m=-1 ela é zero. Como há trajetórias com limites diferentes, o limite não existe.

Passo 4

Para lim(x,y)to(0,0) x-yx^2+y^2, repetindo o passo com y=mx obtemos
1-m1+m^2cdot1x,
que diverge para infinito, exceto em m=1 (trajetória y=x), onde vale zero. Logo, não há limite.

Passo 5

Para lim(x,y)to(0,0) cos(xy)x^2+y^2, note que cos(xy)to1 e x^2+y^2to0^+, então a fração tende a +infty.

Resposta

7(a) +\infty; 7(b) não existe; 8(a) não existe; 8(b) +\infty

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