Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão está no campo do cálculo integral, especificamente envolvendo técnicas de frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos fatorar um em comum:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos usar o método de frações parciais para decompor a fração em partes mais simples. Assumimos que podemos escrever:
Onde , e são constantes que vamos determinar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Juntando os termos similares:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo esse sistema:
De A = 1, já sabemos que A = 1.
De A + B = 0, substituindo A:
1 + B = 0 Rightarrow B = -1
De C = 0, já temos C = 0.
Passo 6
Com os valores de A, B e C encontrados, a decomposição fica:
1x(x^2 + 1) = 1x - xx^2 + 1
Agora, substituímos isso na integral original:
integral ( 1x - xx^2 + 1 ) dx
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
integral 1x dx - integral xx^2 + 1 dx
A primeira integral é direta:
integral 1x dx = ln|x| + C
Para a segunda integral, fazemos uma substituição simples. Seja u = x^2 + 1, então du = 2x dx, ou seja, du2 = x dx. Então:
integral xx^2 + 1 dx = 12 integral duu = 12 ln|u| + C = 12 ln(x^2 + 1) + C