Calcule as integrais abaixo.
integral d xx^3+x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral dxx^3 + x. Essa questão está no campo do cálculo integral, especificamente envolvendo técnicas de frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 + x. Podemos fatorar um x em comum:
x^3 + x = x(x^2 + 1)
Então, a integral fica:
integral dxx(x^2 + 1)

Passo 3

Agora, vamos usar o método de frações parciais para decompor a fração 1x(x^2 + 1) em partes mais simples. Assumimos que podemos escrever:
1x(x^2 + 1) = Ax + Bx + Cx^2 + 1
Onde A, B e C são constantes que vamos determinar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x(x^2 + 1) para eliminar os denominadores:
1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x
Simplificando:
1 = A x^2 + A + B x^2 + C x
Juntando os termos similares:
(A + B)x^2 + Cx + A = 1

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + B = 0 C = 0 A = 1
Resolvendo esse sistema:
  • De A = 1, já sabemos que A = 1.
  • De A + B = 0, substituindo A:
1 + B = 0 Rightarrow B = -1
  • De C = 0, já temos C = 0.

Passo 6

Com os valores de A, B e C encontrados, a decomposição fica:
1x(x^2 + 1) = 1x - xx^2 + 1
Agora, substituímos isso na integral original:
integral ( 1x - xx^2 + 1 ) dx

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
integral 1x dx - integral xx^2 + 1 dx
A primeira integral é direta:
integral 1x dx = ln|x| + C
Para a segunda integral, fazemos uma substituição simples. Seja u = x^2 + 1, então du = 2x dx, ou seja, du2 = x dx. Então:
integral xx^2 + 1 dx = 12 integral duu = 12 ln|u| + C = 12 ln(x^2 + 1) + C

Resposta

Juntando tudo, a integral fica:
integral dxx^3 + x = ln|x| - 12 ln(x^2 + 1) + C
Onde C é a constante de integração.

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