Calcule as integrais abaixo:
integral0^1 integral0^1 y1+x^2 d x d y.

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a integral dupla . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções em duas variáveis e utilizar a técnica de integração iterada, ou seja, integrar uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ordem da integração. A integral está escrita como , o que significa que vamos integrar em relação a primeiro e depois em relação a .

Passo 3

Vamos começar integrando a função integral 11+x^2 , dx = arctan(x) + C em relação a integral0^1 y1+x^2 , dx = y [ arctan(x) ]0^1 = y ( arctan(1) - arctan(0) ) , mantendo y ( pi4 - 0 ) = y cdot pi4 constante. A integral de em relação a é conhecida:
Portanto,
Sabemos que e , então:

Passo 4

Agora, precisamos integrar essa expressão resultante em relação a integral0^1 y cdot pi4 , dy = pi4 integral0^1 y , dy de 0 a 1:
integral y , dy = y^22 + C
A integral de pi4 [ y^22 ]0^1 = pi4 ( 1^22 - 0^22 ) = pi4 cdot 12 = pi8 em relação a é:
Portanto,

Resposta

O valor da integral dupla é .

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