O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por
, sendo
em volts,
em cm.
Dê o versor da direção, a partir de
, em que a taxa de variação do potencial é máxima e o valor desta taxa máxima.
Dê o versor da direção, a partir de
Passo 1
Beleza, então a gente tem o potencial elétrico $ V(x, y, z) = \ln \sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}} $ onde $ V $ está em volts e $ x, y, z $ em centímetros. Nosso objetivo é encontrar o versor (ou direção unitária) a partir do ponto $ A $ onde a variação do potencial é máxima, além de calcular o valor dessa taxa máxima. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de $ V $, denotado por $ \nabla V $, dá a direção de máxima variação de $ V $ e o valor do gradiente é justamente a taxa máxima de variação. Então, vamos calcular $ \nabla V $.
Passo 3
Vamos reescrever o potencial para facilitar a derivação:
Agora, calculamos as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $:
De maneira similar:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Para encontrar o versor da direção de máxima variação, precisamos normalizar o gradiente. O versor $ \mathbf{u} $ é dado por:
Calculando a norma de $ \nabla V $:
Então, o versor é:
Passo 5
A taxa máxima de variação do potencial é a norma do gradiente $ |\nabla V| $, que já calculamos:
Resposta
O versor da direção de máxima variação do potencial é $ \left( \frac{x}{\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}}, \frac{y}{\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}}, \frac{z}{\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}} \right) $ e a taxa máxima de variação é $ \frac{1}{\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}} $ volts por centímetro.