O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por V(x, y, z)=ln raizx^2+y^2+z^2, sendo V em volts, x, y, z em cm.
Dê o versor da direção, a partir de A, em que a taxa de variação do potencial é máxima e o valor desta taxa máxima.

Passo 1

Beleza, então a gente tem o potencial elétrico $ V(x, y, z) = \ln \sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}} $ onde $ V $ está em volts e $ x, y, z $ em centímetros. Nosso objetivo é encontrar o versor (ou direção unitária) a partir do ponto $ A $ onde a variação do potencial é máxima, além de calcular o valor dessa taxa máxima. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de $ V $, denotado por $ \nabla V $, dá a direção de máxima variação de $ V $ e o valor do gradiente é justamente a taxa máxima de variação. Então, vamos calcular $ \nabla V $.

Passo 3

Vamos reescrever o potencial para facilitar a derivação:
V(x, y, z) = ln raizx^2+y^2+z^2 = 12 ln (x^2+y^2+z^2)
Agora, calculamos as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $:
De maneira similar:
V
Então, o gradiente é:
x

Passo 4

Para encontrar o versor da direção de máxima variação, precisamos normalizar o gradiente. O versor $ \mathbf{u} $ é dado por:
u
Calculando a norma de $ \nabla V $:
u = nabla V|nabla V|
Então, o versor é:

Passo 5

A taxa máxima de variação do potencial é a norma do gradiente $ |\nabla V| $, que já calculamos:
|nabla V|

Resposta

O versor da direção de máxima variação do potencial é $ \left( \frac{x}{\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}}, \frac{y}{\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}}, \frac{z}{\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}} \right) $ e a taxa máxima de variação é $ \frac{1}{\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}} $ volts por centímetro.

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