Calcule as integrais abaixo.
(1,5) integral1^infty 1(2 x+1)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral imprópria
integral1^infty 1(2x+1)^3,dx
Trata-se de encontrar uma antiderivada de (2x+1)^-3 e depois avaliar o limite quando o valor de x tende a infinito.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2x + 1, du = 2,dx Longrightarrow dx = du2
Quando x=1, obtemos u=3, e quando xtoinfty, temos utoinfty.

Passo 3

Substituindo na integral, vem
integral1^infty 1(2x+1)^3,dx = integral3^infty 1u^3,du2 = 12integral3^infty u^-3,du
A primitiva de u^-3 é -tfrac12,u^-2. Portanto
12integral u^-3,du = 12l(-tfrac12,u^-2r) = -14,u^-2

Passo 4

Agora avaliamos o termo de cima e de baixo no limite impróprio:
integral1^infty 1(2x+1)^3,dx = limbtoinftyl[-tfrac14u^-2r]u=3^u=b = limbtoinftyl(-tfrac14b^2 + tfrac14cdot3^2r) = 0 + 136 = 136

Resposta

136

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