Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função e suas derivadas. Quando a função contém apenas uma variável esta equação é chamada de equação diferencial ordinário (EDO). Em cada item, verifique se a função y=f(x) é solução da EDO indicada.
y=1 / 2+3 e^-x^2 e y^prime+2 x y=x;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função ;y = tfrac12 + 3e^-x^2; é solução da EDO
y' + 2x,y = x
O conteúdo aqui é cálculo de derivada e substituição na equação diferencial.

Passo 2

Calcular a derivada de y. Como tfrac12 é constante e a derivada de e^-x^2 é -2x,e^-x^2, temos
y' = ddxl(tfrac12r) + ddxl(3e^-x^2r) = 0 + 3l(-2x,e^-x^2r) = -6x,e^-x^2

Passo 3

Substituir y e y' na EDO:
y' + 2x,y = l(-6x,e^-x^2r) + 2xl(tfrac12 + 3e^-x^2r)

Passo 4

Desenvolvendo a soma:
-6x,e^-x^2 + 2xcdot tfrac12 + 2xcdot 3e^-x^2 = -6x,e^-x^2 + x + 6x,e^-x^2 = x
Isso coincide com o lado direito da EDO.

Resposta

A função ;y = tfrac12 + 3e^-x^2; satisfaz a equação y' + 2x,y = x, logo é solução da EDO.

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