Exercício 2 (D.L.4.4)
Use a mudança de variáveis h(r, theta)=(r cos (theta), r sen(theta)) para colocar a equação diferencial
c r^prime=sen(1r) theta^prime=-1
em coordenadas cartesianas (x1, x2).

Passo 1

O enunciado dá o sistema em coordenadas polares
r'=sinl(tfrac1rr), theta'=-1,
e pede a forma equivalente em coordenadas cartesianas (x1,x2) via a transformação
x1=rcostheta, x2=rsintheta

Passo 2

Vamos obter as derivadas ,x1' e ,x2' em termos de r,theta,r' e theta'. Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia temos
x1'=r'costheta - r,theta'sintheta,
x2'=r'sintheta + r,theta'costheta

Passo 3

Substituímos r'=sinl(tfrac1rr) e theta'=-1 nessas expressões:
x1'=sin!l(tfrac1rr)costheta - rcdot(-1)sintheta =sin!l(tfrac1rr)costheta +rsintheta,
x2'=sin!l(tfrac1rr)sintheta + rcdot(-1)costheta =sin!l(tfrac1rr)sintheta -rcostheta

Passo 4

Usamos agora
r=raizx1^2+x2^2, costheta=x1r, sintheta=x2r
para reescrever em termos de (x1,x2):
sin!l(tfrac1rr)costheta =x1r,sin!l(tfrac1rr), sin!l(tfrac1rr)sintheta =x2r,sin!l(tfrac1rr),
rsintheta=x2, rcostheta=x1

Passo 5

Substituindo essas identidades em x1' e x2' obtemos o sistema cartesiano
x1'=x2+dfracx1raizx1^2+x2^2,sin!(dfrac1raizx1^2+x2^2),[1em] x2'=-,x1+dfracx2raizx1^2+x2^2,sin!(dfrac1raizx1^2+x2^2) ]

Resposta

x1'=x2+dfracx1raizx1^2+x2^2,sin!(dfrac1raizx1^2+x2^2),[0.7em] x2'=-,x1+dfracx2raizx1^2+x2^2,sin!(dfrac1raizx1^2+x2^2) ]

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