1. Texto Descreva o procedimento que poderíamos usar para determinar se existe ou não o limite
lim (x, y) (x0, y0) f(x, y)

Passo 1

O enunciado pede um procedimento geral para decidir se o limite lim(x,y)to(x0,y0)f(x,y) existe ou não. O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e vamos precisar usar tanto o teste de trajetórias diferentes quanto a definição varepsilon- de.

Passo 2

Comece testando trajetórias simples: parametrize linhas que passam por (x0,y0), por exemplo y-y0=m(x-x0) e as retas x=x0, y=y0. Em cada caso, substitua na função f(x,y), faça xto x0 e yto y0 conforme a trajetória, e calcule o limite unidimensional resultante.

Passo 3

Compare os resultados obtidos em diferentes trajetórias. Se você encontrar pelo menos duas trajetórias que levem a valores finais diferentes, conclui que o limite não existe. Esse é um critério de não existência: limites parciais diferentes implicam ausência de limite único.

Passo 4

Se todos os caminhos testados levarem ao mesmo valor L, o teste de trajetórias não garante por si só a existência do limite (ele só detecta falha). Nesse caso, proponha L como candidato ao valor do limite e utilize a definição formal: demonstre que, para cada varepsilon>0, existe de0 tal que sempre que raiz(x-x0)^2+(y-y0)^2, valha |f(x,y)-L|.

Passo 5

Conclua: se o teste de trajetórias falhar (resultados distintos), limite não existe. Se você conseguir realizar a prova varepsilon- de apontando o mesmo L, o limite existe e vale L.

Resposta

O procedimento consiste em usar primeiro o teste de trajetórias diferentes para tentar refutar a existência (encontrar dois caminhos com limites distintos) e, se esse teste não mostrar divergência, então provar rigorosamente via definição varepsilon- de que todos os pontos suficientemente perto de (x0,y0) fazem f(x,y) se aproximar de um mesmo valor L.

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