- Texto Descreva o procedimento que poderíamos usar para determinar se existe ou não o limite
Passo 1
O enunciado pede um procedimento geral para decidir se o limite
existe ou não. O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e vamos precisar usar tanto o teste de trajetórias diferentes quanto a definição
-
.
Passo 2
Comece testando trajetórias simples: parametrize linhas que passam por
, por exemplo
e as retas
,
. Em cada caso, substitua na função
, faça
e
conforme a trajetória, e calcule o limite unidimensional resultante.
Passo 3
Compare os resultados obtidos em diferentes trajetórias. Se você encontrar pelo menos duas trajetórias que levem a valores finais diferentes, conclui que o limite não existe. Esse é um critério de não existência: limites parciais diferentes implicam ausência de limite único.
Passo 4
Se todos os caminhos testados levarem ao mesmo valor
, o teste de trajetórias não garante por si só a existência do limite (ele só detecta falha). Nesse caso, proponha
como candidato ao valor do limite e utilize a definição formal: demonstre que, para cada
, existe
tal que sempre que
, valha
.
Passo 5
Conclua: se o teste de trajetórias falhar (resultados distintos), limite não existe. Se você conseguir realizar a prova
-
apontando o mesmo
, o limite existe e vale
.
Resposta
O procedimento consiste em usar primeiro o teste de trajetórias diferentes para tentar refutar a existência (encontrar dois caminhos com limites distintos) e, se esse teste não mostrar divergência, então provar rigorosamente via definição
-
que todos os pontos suficientemente perto de
fazem
se aproximar de um mesmo valor
.