(b) Mostre que o limite
lim (x, y, z) (0,0,0) x y zx^2+y^4+z^4
não existe tomando (x, y, z) (0,0,0) ao longo da curva x=t^2, y=t, z=t.

Passo 1

Estamos analisando o limite de
f(x,y,z)=x,y,zx^2+y^4+z^4
quando (x,y,z)to(0,0,0). Esse é um problema de limites de funções de várias variáveis e vamos usar caminho paramétrico para testar a existência do limite.

Passo 2

Tomando o caminho dado por x=t^2, y=t, z=t, substituímos na expressão de f. Temos:
f(t)=t^2cdot tcdot t(t^2)^2+t^4+t^4=t^4t^4+2t^4=t^43t^4=13
Logo limtto0f(t)=tfrac13.

Passo 3

Agora escolhemos outro caminho, por exemplo x=0, y=t, z=0. Então
f(t)=0cdot tcdot00^2+t^4+0^4=0,
e portanto limtto0f(t)=0.

Passo 4

Como ao longo de um caminho o limite dá tfrac13 e ao longo de outro dá 0, os valores não coincidem. Logo, o limite original não existe.

Resposta

O limite não existe.

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