Calcule as integrais abaixo.
integral1^2 v^5+3 v^6v^4 d v

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de integral1^2 v^5 + 3v^6v^4,dv. O conteúdo aqui é simplificação de potências e integração de polinômios.

Passo 2

Primeiro usando a propriedade de potências v^a/v^b = v^a-b, simplificamos o integrando: v^5 + 3v^6v^4 = v^5-4 + 3v^6-4 = v + 3v^2.
Agora integramos termo a termo. Para um polinômio v^n, vale integral v^n dv = v^n+1n+1 + C. Logo,
integral (v + 3v^2),dv = integral v,dv + 3integral v^2,dv = v^22 + 3cdot v^33 = v^22 + v^3.

Passo 3

Aplicamos o teorema fundamental do cálculo:
(\displaystyle \int_{1}^{2} (v + 3v^{2}),dv = \Bigl[\frac{v^{2}}{2} + v{3}\Bigr]_{1}{2} = \bigl(\frac{2^{2}}{2} + 2^{3}\bigr) - \bigl(\frac{1^{2}}{2} + 1^{3}\bigr) = (2 + 8) - \bigl(\tfrac{1}{2} + 1\bigr) = 10 - \tfrac{3}{2} = \tfrac{17}{2}.

Passo 4

Portanto, o valor da integral é tfrac172.

Resposta

tfrac172

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