Calcule as integrais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida de
. O conteúdo aqui é simplificação de potências e integração de polinômios.
Passo 2
Primeiro usando a propriedade de potências
, simplificamos o integrando:
.
Agora integramos termo a termo. Para um polinômio , vale
. Logo,
.
Agora integramos termo a termo. Para um polinômio
Passo 3
Aplicamos o teorema fundamental do cálculo:
(\displaystyle \int_{1}^{2} (v + 3v^{2}),dv = \Bigl[\frac{v^{2}}{2} + v{3}\Bigr]_{1}{2} = \bigl(\frac{2^{2}}{2} + 2^{3}\bigr) - \bigl(\frac{1^{2}}{2} + 1^{3}\bigr) = (2 + 8) - \bigl(\tfrac{1}{2} + 1\bigr) = 10 - \tfrac{3}{2} = \tfrac{17}{2}.
(\displaystyle \int_{1}^{2} (v + 3v^{2}),dv = \Bigl[\frac{v^{2}}{2} + v{3}\Bigr]_{1}{2} = \bigl(\frac{2^{2}}{2} + 2^{3}\bigr) - \bigl(\frac{1^{2}}{2} + 1^{3}\bigr) = (2 + 8) - \bigl(\tfrac{1}{2} + 1\bigr) = 10 - \tfrac{3}{2} = \tfrac{17}{2}.
Passo 4
Portanto, o valor da integral é
.