Calcule as integrais abaixo:
integralegral duplaD(x-1) d A, D=(x, y) ; 1 <= y <= 2, y <= x <=-y+6.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaD(x-1),dA, onde a região D é dada por 1<= y<= 2 e y<= x<= -y+6. Este é um problema de integração dupla em coordenadas retangulares: precisamos descrever a região D em termos de variáveis limites e em seguida fazer uma integral iterada.

Passo 2

A região D já está descrita de forma conveniente para integrar primeiro em x e depois em y:
D=(x,y):1<= y<= 2, y<= x<= 6-y
Portanto a integral fica
integral duplaD(x-1),dA= integraly=1^2integralx=y^6-y(x-1),dx,dy

Passo 3

Agora calculamos a integral interna em x:
integralx=y^6-y(x-1),dx =l[tfracx^22-xr]x=y^x=6-y

Passo 4

Vamos avaliar e simplificar:
No limite superior x=6-y temos
tfrac(6-y)^22-(6-y)=18-6y+tfracy^22-6+y=12-5y+tfracy^22
No limite inferior x=y temos
tfracy^22-y
Subtraindo dá
l(12-5y+tfracy^22r)-l(tfracy^22-yr)=12-4y

Passo 5

Agora integramos esse resultado em y:
integral1^2(12-4y),dy =l[12y-2y^2r]1^2 =l(24-8r)-l(12-2r)=16-10=6

Resposta

6

Exercícios relacionados