Calcule as integrais abaixo:
integralegral duplaD(2 x+y) d A, D=(x, y) ; 0 <= x <= 1, -x <= y <= 2 x+1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaD(2x+y),dA, onde o domínio D é dado por 0<= x<=1 e -x<= y<=2x+1. O conteúdo aqui é integral dupla em coordenadas cartesianas, e vamos usar a definição de integral iterada, sabendo que quando a região é descrita por limites em x e y dependentes, montamos integralx=a^b!integraly=c(x)^d(x)f(x,y),dy,dx.

Passo 2

Começamos montando a integral iterada:
integral duplaD(2x+y),dA =integralx=0^1!(integraly=-x^2x+1(2x+y),dy)dx

Passo 3

Na integral interna em y calculamos separadamente:
integraly=-x^2x+1(2x+y),dy =integral-x^2x+12x,dy+integral-x^2x+1y,dy =2xl[yr]-x^2x+1+12l[y^2r]-x^2x+1Avaliaremos cada parte:
$$
2x\bigl[(2x+1)-(-x)\bigr]=2x(3x+1)=6x^2+2x,$$
2xl[(2x+1)-(-x)r]=2x(3x+1)=6x^2+2x,
Somando dá
$$
6x2+2x+\bigl(\tfrac{3}{2}x2+2x+\tfrac12\bigr)=\tfrac{15}{2}x^2+4x+\tfrac12.
$$

Passo 4

Agora integramos em x:
integral0^1l(tfrac152x^2+4x+tfrac12r)dx =tfrac152cdottfracx^33|0^1+4cdottfracx^22|0^1+tfrac12x|0^1 =tfrac156+2+tfrac12=tfrac52+2+tfrac12=5

Resposta

5

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