pi6=1raiz3 sumn=0^infty (-1)^n3^n(2 n+1)
e aproxime pi4 usando os cinco primeiros termos da série de arctg x, estimando o valor do erro.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar pi/4 usando os cinco primeiros termos da série de Taylor de arctan x e estimar o erro dessa aproximação. O conteúdo envolvido é a série de potências para arctan x e o teste da série alternada para estimar restos.

Passo 2

A série de Taylor de arctan x centrada em 0 (rádio de convergência 1) é dada por
arctan x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1
Para x=1 temos
arctan(1)=pi4=sumn=0^infty (-1)^n 12n+1

Passo 3

Vamos tomar os cinco primeiros termos ( n=0,1,2,3,4) da soma parcial
S4 = sumn=0^4 (-1)^n 12n+1 = 1 - 13 + 15 - 17 + 19
Calculando numericamente:
S4 = 1 - 0,33333 + 0,2 - 0,142857 + 0,111111 approx 0,83492

Passo 4

Para estimar o erro usamos o teste da série alternada: o resto R4 = pi/4 - S4 satisfaz
|R4| <= a5 = 12cdot5+1 = 111 approx 0,09091

Passo 5

Concluímos que a aproximação com cinco termos é S4approx0,83492 e o erro em módulo é, no máximo, 0,09091.

Resposta

pi4approx0,83492 com erro estimado |R4|<=tfrac111approx0,09091.

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