Reescreva cada região D abaixo como uma região do tipo I ou do tipo II. Faça um esboço da região D.
D subset R^2 limitada pelas curvas y=x, y=-x e x=4.

Passo 1

O enunciado define D como a região do plano limitada pelas retas y = x, y = –x e x = 4. Essas três retas se encontram nos pontos (0,0), (4,4) e (4,–4), formando um triângulo.

Passo 2

Para escrever D como região do tipo I (varia x primeiro e depois y), identificamos que o menor valor de x na região é 0 (na interseção das duas retas inclinadas) e o maior é 4. Para um x fixo em [0,4], y fica entre a reta inferior y = –x e a reta superior y = x. Assim temos
D=(x,y):0<= x<=4,;-x<= y<= x

Passo 3

Para escrever D como região do tipo II (varia y primeiro e depois x), identificamos que y varia de –4 até 4 (nos extremos em x = 4). Para um y fixo em [–4,4], x fica entre a fronteira à esquerda, dada por x = |y| (pois |y|=x corresponde a y=±x), e a frente x = 4. Assim:
D=(x,y):-4<= y<=4,;|y|<= x<=4

Passo 4

Um esboço da região D é o triângulo cujos vértices são (0,0), (4,4) e (4,–4), limitado pelas retas y = x, y = –x e a vertical x = 4.

Resposta

Região do tipo I: D = { (x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, –x ≤ y ≤ x }.
Região do tipo II: D = { (x,y) : –4 ≤ y ≤ 4, |y| ≤ x ≤ 4 }.

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