Calcule as integrais abaixo:
integralegral triplaE(x z+2) d V, em que E=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= 1,-1 <= y <= 3,0 <= z <= 5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integral triplaE(xz+2),dV onde E=(x,y,z)in R^3:0<= x<=1,;-1<= y<=3,;0<= z<=5 O conteúdo da matéria envolve integrais múltiplas, especialmente o Teorema de Fubini, além da propriedade da linearidade da integral. Vamos usar essas ideias para resolver.

Passo 2

Pela linearidade da integral podemos escrever integral triplaE(xz+2),dV=integral triplaExz,dV+integral triplaE2,dV Isso significa que podemos calcular separadamente as duas integrais parciais e, ao final, somar os resultados.

Passo 3

Para calcular integral triplaExz,dV notamos que a região E é um produto de intervalos, então a integral tripla separa-se em produto de integrais simples:
integral triplaExz,dV=l(integral0^1x,dxr)l(integral-1^3dyr)l(integral0^5z,dzr)
Calculando cada uma:
integral0^1x,dx=tfrac12,
integral-1^3dy=4,
integral0^5z,dz=tfrac252.
Multiplicando:
integral triplaExz,dV=tfrac12times4timestfrac252=25

Passo 4

Para calcular integral triplaE2,dV usamos que 2 é constante e fatoramos:
integral triplaE2,dV=2integral triplaEdV=2timesVol(E)
O volume de E é
Vol(E)=(1-0)times(3-(-1))times(5-0)=1times4times5=20
Logo
integral triplaE2,dV=2times20=40
Somando as duas partes temos o resultado.
Somando as contribuições das duas integrais parciais obtemos
25+40=65

Resposta

65

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