Calcule as integrais abaixo:
, em que
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
O conteúdo da matéria envolve integrais múltiplas, especialmente o Teorema de Fubini, além da propriedade da linearidade da integral. Vamos usar essas ideias para resolver.
Passo 2
Pela linearidade da integral podemos escrever
Isso significa que podemos calcular separadamente as duas integrais parciais e, ao final, somar os resultados.
Passo 3
Para calcular
notamos que a região
é um produto de intervalos, então a integral tripla separa-se em produto de integrais simples:
Calculando cada uma:
Multiplicando:
Passo 4
Para calcular
usamos que
é constante e fatoramos:
O volume de
Logo
Somando as duas partes temos o resultado.
Somando as contribuições das duas integrais parciais obtemos
Resposta
65