Calcule as integrais abaixo:
, em que
.
Passo 1
O problema é calcular a integral tripla de f(x,y,z)=x+2y−z sobre o paralelepípedo E definido por −1≤x≤1, 0≤y≤1 e 0≤z≤1. O conteúdo envolve integral tripla em coordenadas cartesianas e vamos usar o Teorema de Fubini para transformá-la numa integral iterada.
Passo 2
Pela Fubini, escrevemos a integral como iterada nesta ordem:
Passo 3
Agora, integramos primeiro em x. Para cada y e z fixos, temos:
Passo 4
Calculemos cada parte:
Passo 5
Logo, o resultado da primeira integração é 0 + 4y - 2z = 4y - 2z.
Substituindo de volta, reduzimos a integral a
Substituindo de volta, reduzimos a integral a
Passo 6
Integramos agora em y:
Passo 7
Por fim, integramos em z:
Resposta
1