Calcule as integrais abaixo:
integralegral triplaE(x+2 y-z) d V, em que E=(x, y, z) in R^3 ;-1 <= x <= 1,0 <= y <= 1,0 <= z <= 1.

Passo 1

O problema é calcular a integral tripla de f(x,y,z)=x+2y−z sobre o paralelepípedo E definido por −1≤x≤1, 0≤y≤1 e 0≤z≤1. O conteúdo envolve integral tripla em coordenadas cartesianas e vamos usar o Teorema de Fubini para transformá-la numa integral iterada.

Passo 2

Pela Fubini, escrevemos a integral como iterada nesta ordem:
integral triplaE(x+2y-z),dV = integralz=0^1integraly=0^1integralx=-1^1(x+2y-z),dx,dy,dz

Passo 3

Agora, integramos primeiro em x. Para cada y e z fixos, temos:
integralx=-1^1(x+2y-z),dx = integral-1^1x,dx + integral-1^12y,dx - integral-1^1z,dx

Passo 4

Calculemos cada parte:
integral-1^1x,dx = l[tfracx^22r]-1^1 = tfrac12-tfrac12 = 0,
integral-1^12y,dx = 2ycdot(1-(-1)) = 4y,
integral-1^1z,dx = zcdot(1-(-1)) = 2z

Passo 5

Logo, o resultado da primeira integração é 0 + 4y - 2z = 4y - 2z.
Substituindo de volta, reduzimos a integral a
integralz=0^1integraly=0^1(4y-2z),dy,dz

Passo 6

Integramos agora em y:
integraly=0^1(4y-2z),dy = integral0^14y,dy - integral0^12z,dy = l[2y^2r]0^1 - 2zcdot(1-0) = 2 - 2z

Passo 7

Por fim, integramos em z:
integralz=0^1(2-2z),dz = integral0^12,dz - integral0^12z,dz = l[2zr]0^1 - l[z^2r]0^1 = 2 - 1 = 1

Resposta

1

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