Mostre que, se o número complexo
é raiz da equação
, então
também é raiz de
Passo 1
O enunciado dá que
é um número complexo tal que
e
A pergunta pede para mostrar que
também satisfaz
Aqui estão claramente os dados e o que se quer provar: dado
com
, provar que a soma geométrica dos
primeiros poderes de
é zero.
Passo 2
Vamos estudar a soma geométrica geral
onde
é um número complexo qualquer. Este
pode ser manipulada algebraicamente multiplicando-a por
. Faço isso passo a passo para não pular nada:
Escrevendo
e multiplicando por
:
Agora subtraio
de
:
Ao fazer essa subtração, todos os termos intermediários cancelam em pares. O que sobra no lado direito é apenas
. Assim:
Passo 3
A identidade obtida é
Observe que essa dedução exigiu apenas álgebra e é válida sempre que
(pois dividimos implicitamente por
ao isolar
). Agora aplico essa identidade ao caso
. Como o enunciado diz que
e também que
, substituo na identidade:
Passo 4
Da igualdade anterior temos um produto igual a zero. Como
, segue que
. Portanto o outro fator tem de ser zero:
Isto é exatamente o que queríamos mostrar.
Passo 5
Para ficar mais concreto, um exemplo rápido: tome
e
(a unidade imaginária). Tem-se
e
. Então
confirmando a propriedade no caso particular.