Mostre que, se o número complexo a \neq 1 é raiz da equação z^{n}-1=0, então a também é raiz de
z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots+z+1=0

Passo 1

O enunciado dá que a é um número complexo tal que a \neq 1 e
a^{n}-1=0.
A pergunta pede para mostrar que a também satisfaz
a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+a+1=0.
Aqui estão claramente os dados e o que se quer provar: dado \,a^{n}=1 com a\neq1, provar que a soma geométrica dos n primeiros poderes de a é zero.

Passo 2

Vamos estudar a soma geométrica geral
S(z)=z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots+z+1,
onde z é um número complexo qualquer. Este S(z) pode ser manipulada algebraicamente multiplicando-a por (z-1). Faço isso passo a passo para não pular nada:
Escrevendo S(z) e multiplicando por z:
z\cdot S(z)=z^{n}+z^{n-1}+\cdots+z^{2}+z.
Agora subtraio S(z) de z\cdot S(z):
z\cdot S(z)-S(z)=(z^{n}+z^{n-1}+\cdots+z^{2}+z)-(z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots+z+1).
Ao fazer essa subtração, todos os termos intermediários cancelam em pares. O que sobra no lado direito é apenas z^{n}-1. Assim:
(z-1)S(z)=z^{n}-1.

Passo 3

A identidade obtida é
z^{n}-1=(z-1)\bigl(z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots+z+1\bigr).
Observe que essa dedução exigiu apenas álgebra e é válida sempre que z\neq1 (pois dividimos implicitamente por z-1 ao isolar S(z)). Agora aplico essa identidade ao caso z=a. Como o enunciado diz que a^{n}-1=0 e também que a\neq1, substituo na identidade:
0=a^{n}-1=(a-1)\bigl(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+a+1\bigr).

Passo 4

Da igualdade anterior temos um produto igual a zero. Como a\neq1, segue que a-1\neq0. Portanto o outro fator tem de ser zero:
a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+a+1=0.
Isto é exatamente o que queríamos mostrar.

Passo 5

Para ficar mais concreto, um exemplo rápido: tome n=4 e a=\mathrm{i} (a unidade imaginária). Tem-se \mathrm{i}^{4}=1 e \mathrm{i}\neq1. Então
\mathrm{i}^{3}+\mathrm{i}^{2}+\mathrm{i}+1 = (-\mathrm{i})+(-1)+\mathrm{i}+1=0,
confirmando a propriedade no caso particular.

Resposta

a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+a+1=0

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