Calcule as integrais abaixo justificando todas as passagens
\int 12 x^{2} \sqrt{4 x^{3}-8} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 12\,x^{2}\sqrt{4x^{3}-8}\,dx
O conteúdo aqui é mudança de variável (substituição) para simplificar a raiz de um polinômio. Vamos usar u=4x^{3}-8, pois sua derivada aparece multiplicando a raiz.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 4x^{3} - 8.
Então
\frac{du}{dx} = 12x^{2} \quad\Longrightarrow\quad du = 12x^{2}\,dx.
Com isso, o diferencial 12x^{2}\,dx na integral é exatamente du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int 12\,x^{2}\sqrt{4x^{3}-8}\,dx = \int \sqrt{u}\;du = \int u^{\tfrac12}\,du.
Agora basta integrar uma potência de u.

Passo 4

A integral de u^{\tfrac12} é
\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} + C = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} + C.
Voltando à variável x, substituímos u=4x^{3}-8:

Resposta

\frac{2}{3}\,(4x^{3}-8)^{\tfrac32} + C.

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