Calcule as integrais abaixo justificando todas as passagens
\int \frac{\sqrt{9-x^{2}}}{2 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{2\,x^{2}} \,dx
Este tipo de integral, com \sqrt{a^{2}-x^{2}}, é clássico para usar substituição trigonométrica.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 3\sin\theta,
de onde
dx = 3\cos\theta\,d\theta
e
\sqrt{9 - x^{2}} = \sqrt{9 - 9\sin^{2}\theta} = 3\cos\theta.

Passo 3

Substituindo na integral original, o numerador \sqrt{9 - x^{2}} vira 3\cos\theta, o denominador 2x^{2} vira 2\,(3\sin\theta)^{2}=18\sin^{2}\theta, e dx traz outro fator 3\cos\theta\,d\theta. Assim
\int \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{2\,x^{2}}\,dx =\int \frac{3\cos\theta}{18\sin^{2}\theta}\,\bigl(3\cos\theta\,d\theta\bigr) =\int \frac{9\cos^{2}\theta}{18\,\sin^{2}\theta}\,d\theta =\frac12\int \cot^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica
\cot^{2}\theta = \csc^{2}\theta - 1,
então
\frac12\int \cot^{2}\theta\,d\theta =\frac12\int \bigl(\csc^{2}\theta - 1\bigr)\,d\theta =\frac12\Bigl(-\cot\theta - \theta\Bigr)+C.

Passo 5

Portanto, em termos de \theta, a antiderivada é
-\frac12\,\cot\theta \;-\;\frac12\,\theta + C.

Passo 6

Volta à variável x. Da substituição x=3\sin\theta temos
\sin\theta=\frac{x}{3}, \qquad \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta} =\frac{\sqrt{9-x^{2}}/3}{x/3} =\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x}, \qquad \theta=\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr).

Resposta

-\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{2\,x} \;-\; \frac12\,\arcsin\!\Bigl(\frac{x}{3}\Bigr) \;+\;C.

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