Calcule as integrais abaixo justificando todas as passagens
\int(x+1) \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int (x+1)\,\ln(x)\,dx.
O conteúdo principal é cálculo de integrais por partes, além da propriedade de linearidade de integrais.

Passo 2

Pela linearidade da integral, podemos separar:
\int (x+1)\,\ln(x)\,dx = \int x\,\ln(x)\,dx \;+\;\int \ln(x)\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int x\,\ln(x)\,dx, aplicamos a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Escolhemos
u = \ln(x) \quad\Longrightarrow\quad du = \frac{1}{x}\,dx,
dv = x\,dx \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{x^2}{2}.
Logo,
\int x\,\ln(x)\,dx = \ln(x)\,\frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2}\,\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\,\ln(x) - \frac{1}{2}\int x\,dx.
E
\int x\,dx = \frac{x^2}{2},
portanto
\int x\,\ln(x)\,dx = \frac{x^2}{2}\,\ln(x) - \frac{1}{2}\,\frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{2}\,\ln(x) - \frac{x^2}{4}.

Passo 4

Agora \displaystyle \int \ln(x)\,dx: de novo por partes, com
u = \ln(x) \quad\Longrightarrow\quad du = \frac{1}{x}\,dx,
dv = dx \quad\Longrightarrow\quad v = x.
Então
\int \ln(x)\,dx = x\,\ln(x) - \int x\,\frac{1}{x}\,dx = x\,\ln(x) - \int 1\,dx = x\,\ln(x) - x.

Passo 5

Somando os dois resultados:
\int (x+1)\,\ln(x)\,dx = \Bigl(\frac{x^2}{2}\,\ln(x) - \frac{x^2}{4}\Bigr) + \bigl(x\,\ln(x) - x\bigr) + C.
Podemos agrupar:
\int (x+1)\,\ln(x)\,dx = \frac{x^2}{2}\,\ln(x) + x\,\ln(x) - \frac{x^2}{4} - x + C.

Resposta

\int (x+1)\,\ln(x)\,dx = \frac{x^2}{2}\,\ln(x) + x\,\ln(x) - \frac{x^2}{4} - x + C.

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