Calcule as integrais abaixo justificando todas as passagens
\int \operatorname{sen}^{6}(x) \cos ^{5}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin^{6}(x)\,\cos^{5}(x)\,dx
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas com potências pares e ímpares. Vamos usar a ideia de separar um fator \cos(x) e reescrever \cos^{4}(x) em termos de \sin(x), para então fazer a substituição u=\sin(x).

Passo 2

Separe \cos^{5}(x)=\cos^{4}(x)\,\cos(x) e use a identidade \cos^{2}(x)=1-\sin^{2}(x).
\int \sin^{6}(x)\,\cos^{5}(x)\,dx =\int \sin^{6}(x)\,\bigl(\cos^{2}(x)\bigr)^{2}\,\cos(x)\,dx =\int \sin^{6}(x)\,(1-\sin^{2}(x))^{2}\,\cos(x)\,dx.

Passo 3

Agora faça a substituição
u = \sin(x), \qquad du = \cos(x)\,dx.
A integral vira
\int u^{6}\,(1-u^{2})^{2}\,du.

Passo 4

Expanda o quadrado (1-u^{2})^{2}=1-2u^{2}+u^{4} e multiplique por u^{6}:
u^{6}(1-2u^{2}+u^{4}) = u^{6}-2u^{8}+u^{10}.
Então integre termo a termo:
\int (u^{6}-2u^{8}+u^{10})\,du =\frac{u^{7}}{7}-2\cdot\frac{u^{9}}{9}+\frac{u^{11}}{11}+C.

Passo 5

Volte à variável x usando u=\sin(x):
\frac{\sin^{7}(x)}{7} -\frac{2\,\sin^{9}(x)}{9} +\frac{\sin^{11}(x)}{11} +C.

Resposta

\int \sin^{6}(x)\,\cos^{5}(x)\,dx =\frac{\sin^{7}(x)}{7} -\frac{2\,\sin^{9}(x)}{9} +\frac{\sin^{11}(x)}{11} +C.

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