Calcule as integrais abaixo por meio da integração por partes.
b) \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \operatorname{sen}(4 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \operatorname{sen}(4x)\,dx
usando o método de integração por partes. Vamos precisar escolher uma parte para diferenciar ( u) e outra para integrar ( dv).

Passo 2

Escolhemos
u = x\quad\text{e}\quad dv = \operatorname{sen}(4x)\,dx.
Então
du = dx\quad\text{e}\quad v = \int \operatorname{sen}(4x)\,dx.
Para calcular v, note que
\int \operatorname{sen}(4x)\,dx = -\frac{1}{4}\cos(4x).

Passo 3

Pela fórmula de integração por partes,
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
temos
I = \Bigl.x\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{4}\cos(4x)\Bigr)\Bigr|_{0}^{\frac{\pi}{4}} \;-\;\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\Bigl(-\tfrac{1}{4}\cos(4x)\Bigr)\,dx.
Isto é
I = -\frac{x}{4}\cos(4x)\Bigl|_{0}^{\frac{\pi}{4}} +\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos(4x)\,dx.

Passo 4

Agora calculamos \displaystyle \int \cos(4x)\,dx = \frac{1}{4}\operatorname{sen}(4x). Logo
I = -\frac{x}{4}\cos(4x)\Bigl|_{0}^{\frac{\pi}{4}} +\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\operatorname{sen}(4x)\Bigl|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\frac{x}{4}\cos(4x)\Bigl|_{0}^{\frac{\pi}{4}} +\frac{1}{16}\operatorname{sen}(4x)\Bigl|_{0}^{\frac{\pi}{4}}.

Passo 5

Avaliaremos em x=\frac{\pi}{4} e em x=0:
  • Para x=\frac{\pi}{4}: \cos(4\cdot\frac{\pi}{4})=\cos(\pi)=-1 e \operatorname{sen}(\pi)=0.
    Então
    -\tfrac{\pi/4}{4}\cdot(-1)+\tfrac{1}{16}\cdot0 = \tfrac{\pi}{16}.
  • Para x=0: \cos(0)=1 e \operatorname{sen}(0)=0.
    Então
    -\tfrac{0}{4}\cdot1+\tfrac{1}{16}\cdot0 = 0.
Subtraindo, obtemos
I = \frac{\pi}{16} - 0 = \frac{\pi}{16}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{16}

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