Calcule as integrais abaixo por meio da integração por partes.
c) \int_{0}^{1} x^{2} e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1} x^{2}e^{2x}\,dx
utilizando a técnica de integração por partes. Vamos aplicar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
escolhendo adequadamente u e dv.

Passo 2

Escolhemos
u = x^{2}, \quad dv = e^{2x}\,dx.
Então
du = 2x\,dx, \quad v = \frac{1}{2}e^{2x}.
Aplicando a fórmula de partes,
\int x^{2}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\,2x\,dx = \frac{1}{2}x^{2}e^{2x} - \int x\,e^{2x}\,dx.

Passo 3

Para resolver \displaystyle \int x\,e^{2x}\,dx, aplicamos partes de novo com
u = x, \quad dv = e^{2x}\,dx
de onde
du = dx, \quad v = \frac{1}{2}e^{2x}.
Assim,
\int x\,e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x\,e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x\,e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}.

Passo 4

Substituindo de volta em \int x^{2}e^{2x}\,dx,
\int x^{2}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{2}e^{2x} - \Bigl(\frac{1}{2}x\,e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}\Bigr) = e^{2x}\Bigl(\tfrac{1}{2}x^{2} - \tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{4}\Bigr) + C.

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a 1:
\Bigl[e^{2x}\bigl(\tfrac{1}{2}x^{2} - \tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{4}\bigr)\Bigr]_{0}^{1} = e^{2}\Bigl(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}\Bigr) - \Bigl(1\cdot\tfrac{1}{4}\Bigr) = \frac{e^{2}}{4} - \frac{1}{4} = \frac{e^{2}-1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{2}-1}{4}

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