Calcule as integrais a seguir utilizando a regra da substituição:
p) \int_{0}^{\infty} \frac{4 x-6}{\left(x^{2}-3 x+6\right)^{792}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int_{0}^{\infty} \frac{4x-6}{(x^{2}-3x+6)^{792}}\,dx,
que é um exemplo clássico de uso da regra da substituição, onde identificamos uma função composta cuja derivada aparece (ou quase) no numerador.

Passo 2

Fazemos a escolha da substituição
u = x^{2} - 3x + 6,
então
du = (2x - 3)\,dx.
Repare que o numerador 4x-6 pode ser escrito como 2(2x-3), ou seja, exatamente duas vezes a parte que aparece em du.

Passo 3

Substituindo, temos
(4x-6)\,dx = 2\,(2x-3)\,dx = 2\,du
e
(x^{2}-3x+6)^{792} = u^{792}.
Logo a integral torna-se
\int \frac{4x-6}{(x^{2}-3x+6)^{792}}\,dx = \int 2\,u^{-792}\,du.

Passo 4

Calculamos a antiderivada em u:
\int 2\,u^{-792}\,du = 2 \cdot \frac{u^{-791}}{-791} = -\frac{2}{791}\,u^{-791}.

Passo 5

Voltando a x e aplicando os limites de 0 a \infty:
F(x) = -\frac{2}{791}\,(x^{2}-3x+6)^{-791},
\lim_{x\to\infty}F(x) = 0, \quad F(0) = -\frac{2}{791}\cdot 6^{-791}.
Logo a integral definida vale
0 - \Bigl(-\frac{2}{791}\,6^{-791}\Bigr) = \frac{2}{791\cdot 6^{791}}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{791\cdot 6^{791}}

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