Calcule as integrais abaixo pelo método da substituição simples.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é o produto de potências das funções trigonométricas
e
com argumento
. Queremos encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, isto é, calcular a integral indefinida.
Passo 2
Observação útil (identidade trigonométrica): para qualquer ângulo
vale
Elevando ao quadrado os dois lados obtemos
Isolando
temos a identidade
Vou usar essa identidade com
.
Passo 3
Aplicando a identidade ao integrando com
dá
Portanto a integral fica
Passo 4
Para integrar
usamos a fórmula de redução de potência (derivada da identidade do cosseno duplo). A identidade é
Explicação rápida:
rearranja para a fórmula acima. Aqui
é qualquer expressão (no nosso caso
).
Passo 5
Aplicando a fórmula com
temos
Substituindo na integral:
Passo 6
Separe a integral em duas parcelas:
A primeira parcela é direta; a segunda exige uma substituição simples porque o argumento do cosseno é uma função linear de
.
Passo 7
Integre a primeira parcela:
Agora trate a segunda parcela por substituição simples. Seja
Então
Passo 8
Usando a substituição em
obtemos
Portanto a segunda parcela (com o fator
) fica
Passo 9
Somando as parcelas e lembrando da constante de integração
, a primitiva é
Para conferir mentalmente: derivando
obtemos
, que era exatamente o integrando reduzido, logo está correto.