Calcule as integrais abaixo pelo método da substituição simples.
\int \sin ^{2}(2 x) \cos ^{2}(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin^{2}(2x)\cos^{2}(2x)\,dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de potências das funções trigonométricas \sin e \cos com argumento 2x. Queremos encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, isto é, calcular a integral indefinida.

Passo 2

Observação útil (identidade trigonométrica): para qualquer ângulo \theta vale
\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta.
Elevando ao quadrado os dois lados obtemos
\sin^{2}(2\theta)=4\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta.
Isolando \sin^{2}\theta\cos^{2}\theta temos a identidade
\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta=\frac{1}{4}\sin^{2}(2\theta).
Vou usar essa identidade com \theta=2x.

Passo 3

Aplicando a identidade ao integrando com \theta=2x
\sin^{2}(2x)\cos^{2}(2x)=\frac{1}{4}\sin^{2}(4x).
Portanto a integral fica
\int \sin^{2}(2x)\cos^{2}(2x)\,dx=\frac{1}{4}\int \sin^{2}(4x)\,dx.

Passo 4

Para integrar \sin^{2} usamos a fórmula de redução de potência (derivada da identidade do cosseno duplo). A identidade é
\sin^{2}\alpha=\frac{1-\cos(2\alpha)}{2}.
Explicação rápida: \cos(2\alpha)=1-2\sin^{2}\alpha rearranja para a fórmula acima. Aqui \alpha é qualquer expressão (no nosso caso \alpha=4x).

Passo 5

Aplicando a fórmula com \alpha=4x temos
\sin^{2}(4x)=\frac{1-\cos(8x)}{2}.
Substituindo na integral:
\frac{1}{4}\int \sin^{2}(4x)\,dx=\frac{1}{4}\int \frac{1-\cos(8x)}{2}\,dx=\frac{1}{8}\int \bigl(1-\cos(8x)\bigr)\,dx.

Passo 6

Separe a integral em duas parcelas:
\frac{1}{8}\int 1\,dx-\frac{1}{8}\int \cos(8x)\,dx.
A primeira parcela é direta; a segunda exige uma substituição simples porque o argumento do cosseno é uma função linear de x.

Passo 7

Integre a primeira parcela:
\frac{1}{8}\int 1\,dx=\frac{1}{8}x.
Agora trate a segunda parcela por substituição simples. Seja
u=8x.
Então
du=8\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{8}.

Passo 8

Usando a substituição em \int \cos(8x)\,dx obtemos
\int \cos(8x)\,dx=\int \cos(u)\,\frac{du}{8}=\frac{1}{8}\int \cos(u)\,du=\frac{1}{8}\sin(u)+C=\frac{1}{8}\sin(8x)+C.
Portanto a segunda parcela (com o fator -\tfrac{1}{8}) fica
-\frac{1}{8}\int \cos(8x)\,dx=-\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{8}\sin(8x)=-\frac{1}{64}\sin(8x).

Passo 9

Somando as parcelas e lembrando da constante de integração C, a primitiva é
\frac{1}{8}x-\frac{1}{64}\sin(8x)+C.
Para conferir mentalmente: derivando \frac{1}{8}x-\frac{1}{64}\sin(8x) obtemos \frac{1}{8}-\frac{1}{64}\cdot 8\cos(8x)=\frac{1}{8}-\frac{1}{8}\cos(8x)=\frac{1}{8}\bigl(1-\cos(8x)\bigr), que era exatamente o integrando reduzido, logo está correto.

Resposta

\dfrac{1}{8}x-\dfrac{1}{64}\sin(8x)+C

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