Calcule as integrais abaixo pelo método da substituição simples.
\int \cos ^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \cos^{4} x \, dx
usando o método da substituição simples. Informações dadas: a função integranda é \cos^{4}x (potência par de cosseno) e queremos uma primitiva (mais a constante de integração). Não começamos a resolver ainda, apenas identificamos o que é pedido.

Passo 2

Observação importante (identidade trigonométrica que vamos usar): a identidade do cosseno de ângulo duplo é
\cos 2x = 2\cos^{2}x - 1.
Dessa identidade podemos isolar \cos^{2}x. Fazendo as contas,
2\cos^{2}x = 1 + \cos 2x \quad\Rightarrow\quad \cos^{2}x = \frac{1+\cos 2x}{2}.
Expliquei isso porque a potência \cos^{4}x é (\cos^{2}x)^{2} e essa identidade nos permite reduzir a potência usando funções de ângulo duplo.

Passo 3

Aplicamos a expressão de \cos^{2}x em \cos^{4}x = (\cos^{2}x)^{2}:
\cos^{4}x = \left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^{2}.
Agora vamos expandir esse quadrado passo a passo.

Passo 4

Expandindo o quadrado:
\cos^{4}x = \frac{(1+\cos 2x)^{2}}{4} = \frac{1 + 2\cos 2x + \cos^{2}2x}{4}.
Ainda há \cos^{2}2x; usamos novamente a identidade para reduzir essa potência (agora com 2x no lugar de x):
\cos^{2}2x = \frac{1+\cos 4x}{2}.
Substituindo em cima:
\cos^{4}x = \frac{1 + 2\cos 2x + \frac{1+\cos 4x}{2}}{4}.

Passo 5

Simplificamos a fração: primeiro combinamos termos no numerador.
1 + 2\cos 2x + \frac{1+\cos 4x}{2} = \frac{2}{2} + 2\cos 2x + \frac{1}{2} + \frac{\cos 4x}{2} = \frac{3}{2} + 2\cos 2x + \frac{1}{2}\cos 4x.
Agora dividimos por 4:
\cos^{4}x = \frac{3/2}{4} + \frac{2\cos 2x}{4} + \frac{(1/2)\cos 4x}{4} = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x.

Passo 6

Usamos linearidade da integral para escrever
\int \cos^{4}x \, dx = \int \left(\frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x\right) dx = \int \frac{3}{8}\,dx + \int \frac{1}{2}\cos 2x \,dx + \int \frac{1}{8}\cos 4x \,dx.
Agora integramos termo a termo, usando substituições simples quando necessário.

Passo 7

Integrando o primeiro termo (constante):
\int \frac{3}{8}\,dx = \frac{3}{8}x.
Isso é direto porque a integral de uma constante a é ax.

Passo 8

Integrando o segundo termo \int \frac{1}{2}\cos 2x \,dx por substituição simples. Seja u = 2x. Então du = 2\,dx e dx = \frac{1}{2}du. Substituindo:
\int \frac{1}{2}\cos 2x \,dx = \frac{1}{2}\int \cos u \cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{4}\int \cos u \,du = \frac{1}{4}\sin u + C.
Voltando a x ( u=2x):
\int \frac{1}{2}\cos 2x \,dx = \frac{1}{4}\sin 2x.
(Alternativamente, lembrar que \int \cos(ax)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax).)

Passo 9

Integrando o terceiro termo \int \frac{1}{8}\cos 4x \,dx por substituição simples. Seja v = 4x. Então dv = 4\,dx e dx=\frac{1}{4}dv. Assim,
\int \frac{1}{8}\cos 4x \,dx = \frac{1}{8}\int \cos v \cdot \frac{1}{4}\,dv = \frac{1}{32}\int \cos v \,dv = \frac{1}{32}\sin v + C.
Voltando a x ( v=4x):
\int \frac{1}{8}\cos 4x \,dx = \frac{1}{32}\sin 4x.

Passo 10

Somando todas as partes e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva completa:
\int \cos^{4}x \,dx = \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x + C.
Pronto! Essa é a antiderivada desejada. Se ficar inseguro, dá pra conferir derivando: a derivada do resultado volta a \cos^{4}x.

Resposta

\frac{3}{8}x+\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{1}{32}\sin 4x+C

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