Calcule as integrais abaixo pelo método da substituição simples.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
usando o método da substituição simples. Informações dadas: a função integranda é
(potência par de cosseno) e queremos uma primitiva (mais a constante de integração). Não começamos a resolver ainda, apenas identificamos o que é pedido.
Passo 2
Observação importante (identidade trigonométrica que vamos usar): a identidade do cosseno de ângulo duplo é
Dessa identidade podemos isolar
. Fazendo as contas,
Expliquei isso porque a potência
é
e essa identidade nos permite reduzir a potência usando funções de ângulo duplo.
Passo 3
Aplicamos a expressão de
em
:
Agora vamos expandir esse quadrado passo a passo.
Passo 4
Expandindo o quadrado:
Ainda há
; usamos novamente a identidade para reduzir essa potência (agora com
no lugar de
):
Substituindo em cima:
Passo 5
Simplificamos a fração: primeiro combinamos termos no numerador.
Agora dividimos por
:
Passo 6
Usamos linearidade da integral para escrever
Agora integramos termo a termo, usando substituições simples quando necessário.
Passo 7
Integrando o primeiro termo (constante):
Isso é direto porque a integral de uma constante
é
.
Passo 8
Integrando o segundo termo
por substituição simples. Seja
. Então
e
. Substituindo:
Voltando a
(
):
(Alternativamente, lembrar que
.)
Passo 9
Integrando o terceiro termo
por substituição simples. Seja
. Então
e
. Assim,
Voltando a
(
):
Passo 10
Somando todas as partes e acrescentando a constante de integração
, obtemos a primitiva completa:
Pronto! Essa é a antiderivada desejada. Se ficar inseguro, dá pra conferir derivando: a derivada do resultado volta a
.