Calcule as integrais abaixo pelo método da substituição simples.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
a integranda é
;
trata-se de uma primitiva (integral indefinida), então devemos apresentar a antiderivada mais constante de integração
;
implicitamente o domínio onde a expressão faz sentido é
(para que
seja real), mas a primitiva será escrita de forma formal com
.
Passo 2
Ideia da substituição simples (aula rápida): se fazemos uma mudança de variável
, então
. Isso nos permite transformar uma integral em relação a
numa integral em relação a
que, muitas vezes, é mais simples. Aqui procuramos uma
que simplifique o radical
presente na integranda. Definimos
Agora calculamos
. Escrevendo
, aplicamos a regra da derivada de potência:
Isolando
obtemos
Como
, substituímos na integral original. A integranda era
. Fazendo
e
temos:
Observe que os fatores
se cancelam, deixando a integral bem simples:
Passo 3
Agora calculamos a primitiva de
. Lembrete: a derivada de
é
, logo uma antiderivada de
é
. Assim,
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Voltamos à variável original substituindo
. Assim a primitiva em
é
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando
pelo teorema da cadeia temos
que é exatamente a integranda original. Perfeito!
Passo 5
Resumo e observações finais: a substituição
foi natural porque eliminou o radical do denominador e transformou a integral numa integral elementar de seno. A primitiva está correta para
(domínio onde a raiz é real). Não esqueça da constante
.