Calcule as integrais abaixo pelo método da substituição simples.
\int \frac{\sin \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\sin \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}\,dx.
Informações relevantes dadas:
a integranda é \dfrac{\sin \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}};
trata-se de uma primitiva (integral indefinida), então devemos apresentar a antiderivada mais constante de integração C;
implicitamente o domínio onde a expressão faz sentido é x>-1 (para que \sqrt{x+1} seja real), mas a primitiva será escrita de forma formal com C.

Passo 2

Ideia da substituição simples (aula rápida): se fazemos uma mudança de variável \displaystyle u=g(x), então du=g'(x)\,dx. Isso nos permite transformar uma integral em relação a x numa integral em relação a u que, muitas vezes, é mais simples. Aqui procuramos uma u que simplifique o radical \sqrt{x+1} presente na integranda. Definimos
u=\sqrt{x+1}.
Agora calculamos du. Escrevendo u=(x+1)^{1/2}, aplicamos a regra da derivada de potência:
du=\frac{1}{2}(x+1)^{-1/2}\,dx=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\,dx.
Isolando dx obtemos
dx=2\sqrt{x+1}\,du.
Como \sqrt{x+1}=u, substituímos na integral original. A integranda era \dfrac{\sin\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}\,dx. Fazendo u=\sqrt{x+1} e dx=2u\,du temos:
\int \frac{\sin \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}\,dx = \int \frac{\sin u}{u}\cdot (2u)\,du.
Observe que os fatores u se cancelam, deixando a integral bem simples:
\int \frac{\sin \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}\,dx = \int 2\sin u\,du.

Passo 3

Agora calculamos a primitiva de 2\sin u. Lembrete: a derivada de \cos u é -\sin u, logo uma antiderivada de \sin u é -\cos u. Assim,
\int 2\sin u\,du = 2\int \sin u\,du = 2(-\cos u) + C = -2\cos u + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Voltamos à variável original substituindo u=\sqrt{x+1}. Assim a primitiva em x é
-2\cos\big(\sqrt{x+1}\big) + C.
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando -2\cos(\sqrt{x+1}) pelo teorema da cadeia temos
\frac{d}{dx}\big[-2\cos(\sqrt{x+1})\big] = -2\big(-\sin(\sqrt{x+1})\big)\cdot\frac{d}{dx}\big[\sqrt{x+1}\big] = 2\sin(\sqrt{x+1})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+1}} = \frac{\sin\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}},
que é exatamente a integranda original. Perfeito!

Passo 5

Resumo e observações finais: a substituição u=\sqrt{x+1} foi natural porque eliminou o radical do denominador e transformou a integral numa integral elementar de seno. A primitiva está correta para x>-1 (domínio onde a raiz é real). Não esqueça da constante C.

Resposta

-2\cos\big(\sqrt{x+1}\big)+C

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