Calcule as integrais abaixo pelo método da substituição simples.
\int \frac{\left(x^{2}+1-2 x\right)^{1 / 5}}{1-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\left(x^{2}+1-2 x\right)^{1/5}}{1-x}\,dx.
Informações relevantes que o enunciado fornece (e que vou usar): a expressão do radicando pode ser reescrita como
x^{2}+1-2x=(x-1)^{2}.
A tarefa é obter uma antiderivada (primitiva) dessa função, ou seja, encontrar F(x) tal que F'(x) seja a função integranda.

Passo 2

Escolho o método da substituição simples porque a expressão (x-1)^{2} aparece dentro de uma potência fracionária e o denominador é 1-x, que é quase (x-1) com sinal trocado — isso indica que uma substituição do tipo u=x-1 vai simplificar muito a integral. Então faço a substituição
u = x-1.

Passo 3

Calculo o diferencial da substituição: como u=x-1, segue que
du = dx.
Além disso, observo que
1-x = -(x-1) = -u.
Agora reescrevo o integrando usando u. Primeiro, usando (x-1)^{2}=x^{2}+1-2x,
\frac{\left(x^{2}+1-2 x\right)^{1/5}}{1-x} = \frac{\left((x-1)^{2}\right)^{1/5}}{1-x} = \frac{(x-1)^{2/5}}{1-x}.
Substituindo x-1=u e 1-x=-u,
\frac{(x-1)^{2/5}}{1-x}=\frac{u^{2/5}}{-u}=-u^{2/5-1}=-u^{-3/5}.
Portanto a integral fica
\int \frac{\left(x^{2}+1-2 x\right)^{1/5}}{1-x}\,dx = \int -u^{-3/5}\,du.

Passo 4

Agora uso a regra de potência para integrar uma potência de u: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac{3}{5}, então n+1=-\tfrac{3}{5}+1=\tfrac{2}{5}, que não é -1. Aplicando a fórmula:
\int -u^{-3/5}\,du = -\frac{u^{(-3/5)+1}}{(-3/5)+1}+C = -\frac{u^{2/5}}{2/5}+C.
Simplificando a fração \dfrac{1}{2/5}=\dfrac{5}{2}, obtemos
-\frac{u^{2/5}}{2/5} = -\frac{5}{2}\,u^{2/5}.

Passo 5

Volto à variável original x usando u=x-1. Assim a primitiva encontrada é
-\frac{5}{2}\,(x-1)^{2/5}+C.
Observação rápida sobre domínio: (x-1)^{2/5}=\big((x-1)^{2}\big)^{1/5} é bem definida para todo x (o termo dentro da raiz quinta é não negativo porque é (x-1)^{2}), então não precisamos preocupar-nos com valor absoluto adicional.

Resposta

-\dfrac{5}{2}(x-1)^{2/5}+C

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