Calcule as integrais abaixo, mostrando os passos essenciais do cálculo.
(i) Encontre a primitiva da função f(x)=x \operatorname{sen}\left(x^{2}+1\right).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma primitiva (ou antiderivada) da função f(x)=x\operatorname{sen}\!\left(x^{2}+1\right).
Informações dadas:
  • A função a integrar é f(x)=x\operatorname{sen}\!\left(x^{2}+1\right).
  • O objetivo é fornecer uma primitiva F(x) tal que F'(x)=f(x).
    Não há mais dados (intervalo, constantes, etc.). Vamos procurar uma primitiva geral, com constante de integração C.

Passo 2

Ideia útil (regra de substituição): quando a integranda tem uma função composta cuja derivada aparece multiplicando, é eficiente usar a substituição u=g(x) com du=g'(x)\,dx. A regra diz que
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\int f(u)\,du.
Explicando devagar: escolhe-se u como a parte interna da composição; calcula-se du (a derivada de u vezes dx); se na integranda aparece exatamente esse g'(x)\,dx (ou um múltiplo), podemos trocar a variável e simplificar a integral.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: a parte interna óbvia é x^{2}+1. Fazemos a substituição
u=x^{2}+1.
Agora calculamos du. Derivando u em relação a x obtemos du=2x\,dx. Isolando x\,dx temos
x\,dx=\frac{1}{2}\,du.
Isto é importante porque a integranda original tem exatamente o fator x\,dx.

Passo 4

Substituímos na integral original:
\int x\operatorname{sen}\!\left(x^{2}+1\right)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\cdot\left(\frac{1}{2}\,du\right) = \frac{1}{2}\int \operatorname{sen}(u)\,du.
Observação: aqui foi usada a igualdade x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du e trocou-se \operatorname{sen}(x^{2}+1) por \operatorname{sen}(u).

Passo 5

Agora integramos em u. A primitiva de \operatorname{sen}(u) é -\operatorname{cos}(u), pois \dfrac{d}{du}\bigl(-\cos u\bigr)=\sin u. Logo
\frac{1}{2}\int \operatorname{sen}(u)\,du=\frac{1}{2}\bigl(-\cos u\bigr)+C=-\frac{1}{2}\cos u + C.

Passo 6

Voltando à variável original x (substituindo u=x^{2}+1), a primitiva fica
F(x)=-\frac{1}{2}\cos\!\bigl(x^{2}+1\bigr)+C.
Verificação rápida (opcional): derivando F obtemos
F'(x)=-\frac{1}{2}\cdot\bigl(-\sin(x^{2}+1)\bigr)\cdot 2x = x\sin(x^{2}+1),
que é exatamente f(x). Então a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{2}\cos\!\bigl(x^{2}+1\bigr)+C

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