Calcule as integrais abaixo, mostrando os passos essenciais do cálculo.
(i) Encontre a primitiva da função
.
(i) Encontre a primitiva da função
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma primitiva (ou antiderivada) da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - O objetivo é fornecer uma primitiva
tal que .
Não há mais dados (intervalo, constantes, etc.). Vamos procurar uma primitiva geral, com constante de integração.
Passo 2
Ideia útil (regra de substituição): quando a integranda tem uma função composta cuja derivada aparece multiplicando, é eficiente usar a substituição
com
. A regra diz que
Explicando devagar: escolhe-se
como a parte interna da composição; calcula-se
(a derivada de
vezes
); se na integranda aparece exatamente esse
(ou um múltiplo), podemos trocar a variável e simplificar a integral.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso: a parte interna óbvia é
. Fazemos a substituição
Agora calculamos
. Derivando
em relação a
obtemos
. Isolando
temos
Isto é importante porque a integranda original tem exatamente o fator
.
Passo 4
Substituímos na integral original:
Observação: aqui foi usada a igualdade
e trocou-se
por
.
Passo 5
Agora integramos em
. A primitiva de
é
, pois
. Logo
Passo 6
Voltando à variável original
(substituindo
), a primitiva fica
Verificação rápida (opcional): derivando
obtemos
que é exatamente
. Então a primitiva está correta.