Calcule as integrais abaixo, mostrando os passos essenciais do cálculo.
(ii) Calcule a primitiva de e^{x} \operatorname{sen}(x).

Passo 1

O enunciado pede a primitiva de \,e^{x}\sin(x)\,. Ou seja, encontrar uma função F(x) tal que
F'(x)=e^{x}\sin(x).
Informações dadas:
  • A função a integrar é e^{x}\sin(x).
  • Quer-se uma antiderivada (primitiva), que inclui a constante de integração C.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar: integração por partes. A fórmula da integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são partes escolhidas da integral, du é a derivada de u em relação a x e v é uma primitiva de dv. Explicando cada símbolo:
  • u é uma função de x que escolhemos para derivar.
  • dv é o resto da integral que escolhemos para integrar (ou seja, v é tal que v' = dv/dx).
    A ideia é escolher u e dv de modo a simplificar a integral resultante.

Passo 3

Definimos a integral que queremos como
I=\int e^{x}\sin(x)\,dx.
Escolhemos, de forma natural para esse tipo de produto, u=\sin(x) e dv=e^{x}\,dx. Então:
du=\cos(x)\,dx,\qquad v=\int e^{x}\,dx = e^{x}.
Aplicando integração por partes:
I = u v - \int v\,du = e^{x}\sin(x) - \int e^{x}\cos(x)\,dx.
Chamemos
J=\int e^{x}\cos(x)\,dx,
para facilitar a escrita. Assim temos
I = e^{x}\sin(x) - J.

Passo 4

Calculamos J também por partes. Tomamos u=\cos(x) e dv=e^{x}\,dx. Então
du=-\sin(x)\,dx,\qquad v=e^{x}.
Aplicando a fórmula:
J = e^{x}\cos(x) - \int e^{x}\bigl(-\sin(x)\bigr)\,dx = e^{x}\cos(x) + \int e^{x}\sin(x)\,dx.
Mas \int e^{x}\sin(x)\,dx é justamente I. Portanto
J = e^{x}\cos(x) + I.

Passo 5

Voltando à expressão de I obtida no Passo 3 e substituindo J do Passo 4:
I = e^{x}\sin(x) - J = e^{x}\sin(x) - \bigl(e^{x}\cos(x) + I\bigr).
Organizando:
I = e^{x}\sin(x) - e^{x}\cos(x) - I.
Somando I em ambos os lados:
2I = e^{x}\bigl(\sin(x)-\cos(x)\bigr).
Dividindo por 2:
I = \frac{1}{2}e^{x}\bigl(\sin(x)-\cos(x)\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Verificação rápida (para ficar seguro): derivando a solução
F(x)=\frac{1}{2}e^{x}\bigl(\sin(x)-\cos(x)\bigr)
pelo produto, tem-se
F'(x)=\frac{1}{2}e^{x}\bigl(\sin(x)-\cos(x)\bigr)+\frac{1}{2}e^{x}\bigl(\cos(x)+\sin(x)\bigr)=e^{x}\sin(x),
confirmando que F'(x) é a função original.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}e^{x}\bigl(\sin(x)-\cos(x)\bigr)+C

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