Calcule as integrais abaixo, mostrando os passos essenciais do cálculo.
(ii) Calcule a primitiva de
.
(ii) Calcule a primitiva de
Passo 1
O enunciado pede a primitiva de
. Ou seja, encontrar uma função
tal que
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se uma antiderivada (primitiva), que inclui a constante de integração
.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: integração por partes. A fórmula da integração por partes é
onde
e
são partes escolhidas da integral,
é a derivada de
em relação a
e
é uma primitiva de
. Explicando cada símbolo:
-
é uma função de que escolhemos para derivar. -
é o resto da integral que escolhemos para integrar (ou seja, é tal que ).
A ideia é escolhere de modo a simplificar a integral resultante.
Passo 3
Definimos a integral que queremos como
Escolhemos, de forma natural para esse tipo de produto,
e
. Então:
Aplicando integração por partes:
Chamemos
para facilitar a escrita. Assim temos
Passo 4
Calculamos
também por partes. Tomamos
e
. Então
Aplicando a fórmula:
Mas
é justamente
. Portanto
Passo 5
Voltando à expressão de
obtida no Passo 3 e substituindo
do Passo 4:
Organizando:
Somando
em ambos os lados:
Dividindo por
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Verificação rápida (para ficar seguro): derivando a solução
pelo produto, tem-se
confirmando que
é a função original.