Encontre a área da região englobada pelas curvas y^{2}=4 x \mathrm{e} y=2 x-4 integrando
em relação a y

Passo 1

O enunciado pede a área da região englobada pelas curvas dadas, integrando em relação a y. As curvas fornecidas são:
  • y^{2}=4x
  • y=2x-4
O que precisamos encontrar:
  • Os valores de y onde as curvas se intersectam (limites de integração em y).
  • Expressões de x em função de y para as duas curvas (para escrever a largura horizontal da região como função de y).
  • Determinar qual curva é a fronteira direita e qual é a fronteira esquerda, para montar o integrando x_{\text{direita}}(y)-x_{\text{esquerda}}(y).
  • Calcular a área por
A=\int_{y_{\min}}^{y_{\max}}\bigl(x_{\text{direita}}(y)-x_{\text{esquerda}}(y)\bigr)\,dy.

Passo 2

Isolar x em cada equação (porque vamos integrar em y, precisamos de x como função de y).
Da parábola y^{2}=4x temos
x=\frac{y^{2}}{4}.
Da reta y=2x-4 resolvendo para x obtemos
x=\frac{y+4}{2}.

Passo 3

Encontrar as interseções: substituir uma expressão em outra ou igualar as duas expressões de x. A condição de interseção é
\frac{y^{2}}{4}=\frac{y+4}{2}.
Multiplicando ambos os lados por 4
y^{2}=2(y+4).
Desenvolvendo:
y^{2}-2y-8=0.
Fatorando:
(y-4)(y+2)=0.
Logo as abscissas em y das interseções são
y=4\quad\text{e}\quad y=-2.
Esses serão os limites de integração: de y=-2 até y=4.

Passo 4

Determinar qual curva é a fronteira direita (maior x) e qual é a esquerda (menor x) no intervalo y\in[-2,4]. Teste um valor intermediário, por exemplo y=0:
\text{parábola: }x=\frac{0^{2}}{4}=0, \qquad \text{reta: }x=\frac{0+4}{2}=2.á
Como 2>0, a reta está à direita da parábola para esse y. Como não há troca de ordem entre as interseções (as curvas se cruzam apenas nos extremos), podemos concluir que para todo y entre -2 e 4 a reta é a fronteira direita e a parábola é a esquerda. Portanto
x_{\text{direita}}(y)=\frac{y+4}{2},\qquad x_{\text{esquerda}}(y)=\frac{y^{2}}{4}.

Passo 5

Escrever o integrando (diferença horizontal) e simplificá-lo:
x_{\text{direita}}(y)-x_{\text{esquerda}}(y) =\frac{y+4}{2}-\frac{y^{2}}{4}.
Colocando em termos de potências de y:
\frac{y+4}{2}-\frac{y^{2}}{4} =\frac{1}{2}y+2-\frac{1}{4}y^{2}.

Passo 6

Montar a integral da área:
A=\int_{y=-2}^{4}\left(\frac{1}{2}y+2-\frac{1}{4}y^{2}\right)\,dy.
Calcular a primitiva termo a termo. Lembrando a regra básica de integração: \int y^{n}\,dy=\dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq-1, e \int c\,dy = c y para constante c. Assim,
\int\left(\frac{1}{2}y\right)dy=\frac{1}{2}\cdot\frac{y^{2}}{2}=\frac{1}{4}y^{2},
\int 2\,dy=2y,
\int\left(-\frac{1}{4}y^{2}\right)dy=-\frac{1}{4}\cdot\frac{y^{3}}{3}=-\frac{1}{12}y^{3}.
Portanto uma antiderivada é
F(y)=-\frac{1}{12}y^{3}+\frac{1}{4}y^{2}+2y.

Passo 7

Avaliar a primitiva nos limites y=4 e y=-2 e subtrair:
Calcule F(4):
F(4)=-\frac{1}{12}\cdot 4^{3}+\frac{1}{4}\cdot 4^{2}+2\cdot 4 =-\frac{64}{12}+\frac{16}{4}+8.
Simplificando os termos:
-\frac{64}{12}=-\frac{16}{3},\qquad \frac{16}{4}=4,
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F(4)=-\frac{16}{3}+4+8=-\frac{16}{3}+12=\frac{-16+36}{3}=\frac{20}{3}.
Calcule F(-2):
F(-2)=-\frac{1}{12}\cdot(-2)^{3}+\frac{1}{4}\cdot(-2)^{2}+2\cdot(-2) =-\frac{-8}{12}+\frac{4}{4}-4.
Simplificando:
-\frac{-8}{12}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3},\qquad \frac{4}{4}=1,
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F(-2)=\frac{2}{3}+1-4=\frac{2}{3}-3=\frac{2-9}{3}=-\frac{7}{3}.
Agora a área:
A=F(4)-F(-2)=\frac{20}{3}-\left(-\frac{7}{3}\right)=\frac{27}{3}=9.

Passo 8

Interpretação final: a área da região englobada pelas curvas, calculada integrando em relação a y, é 9 unidades de área. Força — ficou certinho!

Resposta

9

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