Encontre a área da região englobada pelas curvas
integrando
em relação a
em relação a
Passo 1
O enunciado pede a área da região englobada pelas curvas dadas, integrando em relação a
. As curvas fornecidas são:
O que precisamos encontrar:
- Os valores de
onde as curvas se intersectam (limites de integração em ). - Expressões de
em função de para as duas curvas (para escrever a largura horizontal da região como função de ). - Determinar qual curva é a fronteira direita e qual é a fronteira esquerda, para montar o integrando
. - Calcular a área por
Passo 2
Isolar
em cada equação (porque vamos integrar em
, precisamos de
como função de
).
Da parábola
temos
Da reta
resolvendo para
obtemos
Passo 3
Encontrar as interseções: substituir uma expressão em outra ou igualar as duas expressões de
. A condição de interseção é
Multiplicando ambos os lados por
dá
Desenvolvendo:
Fatorando:
Logo as abscissas em
das interseções são
Esses serão os limites de integração: de
até
.
Passo 4
Determinar qual curva é a fronteira direita (maior
) e qual é a esquerda (menor
) no intervalo
. Teste um valor intermediário, por exemplo
:
Como
, a reta está à direita da parábola para esse
. Como não há troca de ordem entre as interseções (as curvas se cruzam apenas nos extremos), podemos concluir que para todo
entre
e
a reta é a fronteira direita e a parábola é a esquerda. Portanto
Passo 5
Escrever o integrando (diferença horizontal) e simplificá-lo:
Colocando em termos de potências de
:
Passo 6
Montar a integral da área:
Calcular a primitiva termo a termo. Lembrando a regra básica de integração:
para
, e
para constante
. Assim,
Portanto uma antiderivada é
Passo 7
Avaliar a primitiva nos limites
e
e subtrair:
Calcule :
Calcule
Simplificando os termos:
logo
Calcule
:
Simplificando:
logo
Agora a área:
Passo 8
Interpretação final: a área da região englobada pelas curvas, calculada integrando em relação a
, é
unidades de área. Força — ficou certinho!