Encontre a área da região englobada pelas curvas
integrando
em relação a
em relação a
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a área da região englobada (fechada) pelas curvas
e
, integrando em relação a
.
Informações dadas e o que vamos precisar identificar:
- Curva 1 (parábola):
. - Curva 2 (reta):
. - A tarefa é calcular a área encerrada por essas duas curvas usando uma integral em
.
O primeiro passo concreto será achar os pontos de interseção das duas curvas (esses pontos darão os limites em
da integral). Depois, para cada
entre esses limites, precisamos saber qual é a função que define a borda superior em
(
) e qual é a borda inferior (
), porque a fórmula para área integrando em
é
Passo 2
Achar os pontos de interseção: igualamos as duas curvas. A parábola pode ser escrita como
. Substituindo na equação da reta:
Passamos todos os termos para um lado:
Multiplicando por
para eliminar denominador:
Resolvendo a quadrática (fórmula de Bhaskara ou fatorando):
logo as interseções em
são
e
.
Passo 3
Encontrar os
correspondentes usando
(pegando os pontos da parábola):
- Para
: - Para
:
Portanto, os pontos de interseção são
e
. Esses são os limites em
:
e
.
Passo 4
Expressar as curvas em função de
(para decidir top/bottom):
- A parábola
dá duas funções: (ramo superior) e (ramo inferior). - A reta já está em forma
.
Agora precisamos decidir, para
entre
e
, qual é
e qual é
. Para isso comparamos valores em um ponto intermediário, por exemplo
:
- Ramo superior da parábola:
. - Reta:
. - Ramo inferior da parábola:
.
Observação: em
a reta dá
(igual ao ramo inferior), e em
a reta dá
(igual ao ramo superior). Para valores de
entre
e
a reta
fica entre os dois ramos da parábola e cresce de
até
. Portanto, para cada
o segmento vertical dentro da região vai da reta (parte inferior do segmento) até o ramo superior da parábola (parte superior do segmento). Ou seja:
para
.
Explicação curta do porquê: a região é aquela “lente” entre a parábola à esquerda e a reta à direita quando vista horizontalmente; para fazer integral em
cada fatia vertical vai do valor da reta (mais baixo) até o ramo superior da parábola (mais alto).
Passo 5
Montar a integral para a área usando a fórmula
Substituindo as funções encontradas:
Passo 6
Calcular a integral passo a passo. Antiderivadas termo a termo:
- Para
: - Para
: - Para
:
Portanto a primitiva é
Avaliaremos entre
e
.
Passo 7
Avaliar
e
:
- Para
: . Então
- Para
: . Então
Agora a área é
: