Encontre a área da região englobada pelas curvas y^{2}=4 x \mathrm{e} y=2 x-4 integrando
em relação a x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a área da região englobada (fechada) pelas curvas y^{2}=4x e y=2x-4, integrando em relação a x.
Informações dadas e o que vamos precisar identificar:
  • Curva 1 (parábola): y^{2}=4x.
  • Curva 2 (reta): y=2x-4.
  • A tarefa é calcular a área encerrada por essas duas curvas usando uma integral em x.
O primeiro passo concreto será achar os pontos de interseção das duas curvas (esses pontos darão os limites em x da integral). Depois, para cada x entre esses limites, precisamos saber qual é a função que define a borda superior em y ( y_{\text{top}}(x) ) e qual é a borda inferior ( y_{\text{bot}}(x) ), porque a fórmula para área integrando em x é
\text{Área}=\int_{x=a}^{x=b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.Á

Passo 2

Achar os pontos de interseção: igualamos as duas curvas. A parábola pode ser escrita como x=\dfrac{y^{2}}{4}. Substituindo na equação da reta:
y=2x-4 \quad\Rightarrow\quad y=2\left(\dfrac{y^{2}}{4}\right)-4=\dfrac{y^{2}}{2}-4.
Passamos todos os termos para um lado:
\dfrac{y^{2}}{2}-y-4=0.
Multiplicando por 2 para eliminar denominador:
y^{2}-2y-8=0.
Resolvendo a quadrática (fórmula de Bhaskara ou fatorando):
y^{2}-2y-8=(y-4)(y+2)=0,
logo as interseções em y são y=4 e y=-2.

Passo 3

Encontrar os x correspondentes usando x=\dfrac{y^{2}}{4} (pegando os pontos da parábola):
  • Para y=4: \displaystyle x=\dfrac{4^{2}}{4}=\dfrac{16}{4}=4.
  • Para y=-2: \displaystyle x=\dfrac{(-2)^{2}}{4}=\dfrac{4}{4}=1.
Portanto, os pontos de interseção são (x,y)=(1,-2) e (4,4). Esses são os limites em x: a=1 e b=4.

Passo 4

Expressar as curvas em função de x (para decidir top/bottom):
  • A parábola y^{2}=4x dá duas funções: y=\;2\sqrt{x} (ramo superior) e y=-2\sqrt{x} (ramo inferior).
  • A reta já está em forma y=2x-4.
Agora precisamos decidir, para x entre 1 e 4, qual é y_{\text{top}}(x) e qual é y_{\text{bot}}(x). Para isso comparamos valores em um ponto intermediário, por exemplo x=2:
  • Ramo superior da parábola: y=2\sqrt{2}\approx2{,}828.
  • Reta: y=2\cdot2-4=0.
  • Ramo inferior da parábola: y=-2\sqrt{2}\approx-2{,}828.
Observação: em x=1 a reta dá y=-2 (igual ao ramo inferior), e em x=4 a reta dá y=4 (igual ao ramo superior). Para valores de x entre 1 e 4 a reta y=2x-4 fica entre os dois ramos da parábola e cresce de -2 até 4. Portanto, para cada x\in[1,4] o segmento vertical dentro da região vai da reta (parte inferior do segmento) até o ramo superior da parábola (parte superior do segmento). Ou seja:
y_{\text{top}}(x)=2\sqrt{x},\qquad y_{\text{bot}}(x)=2x-4,
para 1\le x\le4.
Explicação curta do porquê: a região é aquela “lente” entre a parábola à esquerda e a reta à direita quando vista horizontalmente; para fazer integral em x cada fatia vertical vai do valor da reta (mais baixo) até o ramo superior da parábola (mais alto).

Passo 5

Montar a integral para a área usando a fórmula
\text{Área}=\int_{x=1}^{4}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.Á
Substituindo as funções encontradas:
\text{Área}=\int_{1}^{4}\bigl(2\sqrt{x}-(2x-4)\bigr)\,dx =\int_{1}^{4}\bigl(2x^{1/2}-2x+4\bigr)\,dx.Á

Passo 6

Calcular a integral passo a passo. Antiderivadas termo a termo:
  • Para \displaystyle 2x^{1/2}: \displaystyle \int 2x^{1/2}\,dx=2\cdot \frac{2}{3}x^{3/2}=\frac{4}{3}x^{3/2}.
  • Para \displaystyle -2x: \displaystyle \int -2x\,dx=-x^{2}.
  • Para \displaystyle 4: \displaystyle \int 4\,dx=4x.
Portanto a primitiva é
F(x)=\frac{4}{3}x^{3/2}-x^{2}+4x.
Avaliaremos entre 1 e 4.

Passo 7

Avaliar F(4) e F(1):
  • Para x=4: x^{3/2}= (4)^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8. Então
F(4)=\frac{4}{3}\cdot 8 - 4^{2} + 4\cdot 4 = \frac{32}{3} -16 +16 = \frac{32}{3}.
  • Para x=1: x^{3/2}=1. Então
F(1)=\frac{4}{3}\cdot 1 - 1^{2} + 4\cdot 1 = \frac{4}{3} -1 +4 = \frac{4}{3}+3 = \frac{13}{3}.
Agora a área é F(4)-F(1):
\text{Área}=\frac{32}{3}-\frac{13}{3}=\frac{19}{3}.Á

Resposta

\dfrac{19}{3}

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