Calcule as integrais abaixo, mostrando os passos essenciais do cálculo.
(iii) Calcule
(iii) Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- Limites de integração:
(inferior) e (superior). - Integrando:
.
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Primeiro passo técnico: simplificar a fração fazendo divisão polinomial implícita para separar um termo mais fácil de integrar. Observa-se que
porque
. Subtraindo
obtemos
. Dividindo ambos os lados por
temos
Portanto a integral se transforma em
Passo 3
Separe a integral em duas integrais mais simples:
Agora vamos calcular cada uma delas.
Passo 4
Calcule a primeira integral
.
Usa-se a regra básica de potências: para
,
Aqui
, então
Avaliada no intervalo de
a
,
Passo 5
Calcule a segunda integral
usando substituição.
Escolhe-se a substituição
Então
Quando
,
. Quando
,
. Substituindo na integral:
A integral de
é o logaritmo natural:
Como
no intervalo, não precisamos do valor absoluto em prática. Assim
pois
.
Passo 6
Combine os resultados das duas integrais:
Fatorando
,