Calcule as integrais abaixo, mostrando os passos essenciais do cálculo.
(iii) Calcule
\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{2}+1}\,dx.
Informações dadas:
  • Limites de integração: 0 (inferior) e 1 (superior).
  • Integrando: \dfrac{x^{3}}{x^{2}+1}.
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Primeiro passo técnico: simplificar a fração fazendo divisão polinomial implícita para separar um termo mais fácil de integrar. Observa-se que
x^{3}=x\,(x^{2}+1)-x,
porque x\,(x^{2}+1)=x^{3}+x. Subtraindo x obtemos x^{3}. Dividindo ambos os lados por x^{2}+1 temos
\frac{x^{3}}{x^{2}+1}=x-\frac{x}{x^{2}+1}.
Portanto a integral se transforma em
\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{x^{2}+1}\,dx=\int_{0}^{1}\left(x-\frac{x}{x^{2}+1}\right)\,dx.

Passo 3

Separe a integral em duas integrais mais simples:
\int_{0}^{1}\left(x-\frac{x}{x^{2}+1}\right)\,dx=\int_{0}^{1}x\,dx-\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Agora vamos calcular cada uma delas.

Passo 4

Calcule a primeira integral \displaystyle\int_{0}^{1}x\,dx.
Usa-se a regra básica de potências: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=1, então
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C.
Avaliada no intervalo de 0 a 1,
\int_{0}^{1}x\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Calcule a segunda integral \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx usando substituição.
Escolhe-se a substituição
u=x^{2}+1.
Então
du=2x\,dx\quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{1}{2}\,du.
Quando x=0, u=0^{2}+1=1. Quando x=1, u=1^{2}+1=2. Substituindo na integral:
\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\int_{u=1}^{u=2}\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du=\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{1}{u}\,du.
A integral de 1/u é o logaritmo natural:
\int\frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C.
Como u>0 no intervalo, não precisamos do valor absoluto em prática. Assim
\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{1}{u}\,du=\frac{1}{2}\left.\ln u\right|_{1}^{2}=\frac{1}{2}(\ln 2-\ln 1)=\frac{1}{2}\ln 2,
pois \ln 1=0.

Passo 6

Combine os resultados das duas integrais:
\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{x^{2}+1}\,dx=\int_{0}^{1}x\,dx-\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln 2.
Fatorando \tfrac{1}{2},
\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln 2=\frac{1-\ln 2}{2}.

Resposta

\dfrac{1-\ln 2}{2}

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