Resolva o problema de valor inicial
\begin{gathered} y^{\prime}+2 y=g(t), \quad y(0)=0, \text { em que } \\\ g(t)=\left\{\begin{array}{cc} 1, & 0 \leq t \leq 1 \\\\ 0, & t>1 \end{array}\right. \end{gathered}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede, para não nos perdermos:
  • A equação diferencial é y^{\prime}+2y=g(t)\). - A condição inicial é \(y(0)=0\). - A força externa \(g(t)\) é dada por: \[g(t)=\begin{cases} 1, & 0 \le t \le 1,\\[4pt] 0, & t>1. \end{cases}
O que o enunciado pede: encontrar a solução y(t)\] para \(t\ge0 (ou seja, resolver o problema de valor inicial considerando a expressão de g(t) em cada intervalo).]

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada passo a passo): como \,y^{\prime}+2y=g(t)\, é uma equação linear de primeira ordem e g(t) é peça‑por‑peça constante, vamos resolver em dois intervalos: primeiro para 0\le t\le1 (onde g(t)=1) e depois para t>1 (onde g(t)=0). Em seguida usaremos continuidade de y em t=1 para ligar as soluções. Antes de calcular, uma pequena aula sobre o método que vamos usar:
  • Integrating factor (fator integrante): para uma equação linear de primeira ordem na forma \,y'+p(t)y=q(t)\,, multiplica-se por \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}. Isso transforma o lado esquerdo em a derivada de \mu(t)y(t), ou seja,
\frac{d}{dt}\big(\mu(t)y(t)\big)=\mu(t)q(t).
Então integra-se ambos os lados para obter \mu(t)y(t) e finalmente y(t). Aqui p(t)=2 (constante), então \mu(t)=e^{\int 2\,dt}=e^{2t}. Vou aplicar isso explicitamente.

Passo 3

Resolver para 0\le t\le1 (onde g(t)=1). Começando da equação
y'+2y=1.
O fator integrante é
\mu(t)=e^{\int 2\,dt}=e^{2t}.
Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos
e^{2t}y'+2e^{2t}y=\!e^{2t}.
O lado esquerdo é a derivada de e^{2t}y, logo
\frac{d}{dt}\big(e^{2t}y\big)=e^{2t}.
Integramos ambos os lados de 0 a t (isso facilita usar a condição inicial y(0)=0):
\int_{0}^{t}\frac{d}{ds}\big(e^{2s}y(s)\big)\,ds=\int_{0}^{t}e^{2s}\,ds.
O lado esquerdo fica e^{2t}y(t)-e^{0}y(0)=e^{2t}y(t)-y(0). Como y(0)=0, temos
e^{2t}y(t)=\int_{0}^{t}e^{2s}\,ds.
Calcular a integral do lado direito:
\int_{0}^{t}e^{2s}\,ds=\left[\tfrac{1}{2}e^{2s}\right]_{0}^{t}=\tfrac{1}{2}\big(e^{2t}-1\big).
Portanto
e^{2t}y(t)=\tfrac{1}{2}\big(e^{2t}-1\big).
Isolando y(t),
y(t)=\tfrac{1}{2}\big(1-e^{-2t}\big),\qquad 0\le t\le1.
Breve interpretação: quando a forçante é constante igual a 1, a solução tende a um valor de equilíbrio 1/2 e a transiente é um decaimento exponencial e^{-2t}.

Passo 4

Avaliar y em t=1 para usar depois como condição inicial no segundo intervalo:
y(1)=\tfrac{1}{2}\big(1-e^{-2}\big).
Além disso, para t>1 a função g(t) salta para 0, então a solução deve ser contínua em t=1 e igual a esse valor no instante imediatamente após 1.

Passo 5

Resolver para t>1 (onde g(t)=0). A equação fica homogênea:
y'+2y=0.
Isto é uma equação separável ou linear homogênea; a solução geral é
y(t)=C\,e^{-2t},
onde C é constante a determinar. Usamos continuidade em t=1: y(1)=C\,e^{-2}=\tfrac{1}{2}\big(1-e^{-2}\big). Assim
C=e^{2}\cdot\tfrac{1}{2}\big(1-e^{-2}\big)=\tfrac{1}{2}\big(e^{2}-1\big).
Portanto, para t>1,
y(t)=\tfrac{1}{2}\big(e^{2}-1\big)e^{-2t}.
Uma forma mais intuitiva e mais curta é observar que a solução para t>1 pode ser escrita como decaimento a partir do valor em t=1:
y(t)=y(1)\,e^{-2(t-1)}=\tfrac{1}{2}\big(1-e^{-2}\big)\,e^{-2(t-1)},\qquad t>1.
Interpretando: depois que a forçante é desligada em t=1, a solução simplesmente decai exponencialmente com constante de decaimento 2.

Passo 6

Checagens rápidas (para te dar confiança):
  • Em t=0, pela fórmula do primeiro intervalo, y(0)=\tfrac{1}{2}(1-1)=0 conforme a condição inicial.
  • Em t=1, ambas as expressões (a do intervalo 0\le t\le1 e a do intervalo t>1) coincidem em \tfrac{1}{2}(1-e^{-2}), garantindo continuidade.
  • O comportamento físico faz sentido: resposta forçada até t=1 aproxima‑se de 1/2; após t=1, decai exponencialmente.

Resposta

y(t)=\begin{cases} \tfrac{1}{2}\big(1-e^{-2t}\big), & 0\le t\le1,\\[6pt] \tfrac{1}{2}\big(1-e^{-2}\big)\,e^{-2(t-1)}, & t>1. \end{cases}]

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