\begin{gathered} y^{\prime}+2 y=g(t), \quad y(0)=0, \text { em que } \\\ g(t)=\left\{\begin{array}{cc} 1, & 0 \leq t \leq 1 \\\\ 0, & t>1 \end{array}\right. \end{gathered}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede, para não nos perdermos:
A equação diferencial é y^{\prime}+2y=g(t)\).
- A condição inicial é \(y(0)=0\).
- A força externa \(g(t)\) é dada por:
\[g(t)=\begin{cases} 1, & 0 \le t \le 1,\\[4pt] 0, & t>1. \end{cases}
O que o enunciado pede: encontrar a solução y(t)\] para \(t\ge0 (ou seja, resolver o problema de valor inicial considerando a expressão de g(t) em cada intervalo).]
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada passo a passo): como \,y^{\prime}+2y=g(t)\, é uma equação linear de primeira ordem e g(t) é peça‑por‑peça constante, vamos resolver em dois intervalos: primeiro para 0\le t\le1 (onde g(t)=1) e depois para t>1 (onde g(t)=0). Em seguida usaremos continuidade de y em t=1 para ligar as soluções. Antes de calcular, uma pequena aula sobre o método que vamos usar:
Integrating factor (fator integrante): para uma equação linear de primeira ordem na forma \,y'+p(t)y=q(t)\,, multiplica-se por \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}. Isso transforma o lado esquerdo em a derivada de \mu(t)y(t), ou seja,
\frac{d}{dt}\big(\mu(t)y(t)\big)=\mu(t)q(t).
Então integra-se ambos os lados para obter \mu(t)y(t) e finalmente y(t). Aqui p(t)=2 (constante), então \mu(t)=e^{\int 2\,dt}=e^{2t}. Vou aplicar isso explicitamente.
Passo 3
Resolver para 0\le t\le1 (onde g(t)=1). Começando da equação
y'+2y=1.
O fator integrante é
\mu(t)=e^{\int 2\,dt}=e^{2t}.
Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos
e^{2t}y'+2e^{2t}y=\!e^{2t}.
O lado esquerdo é a derivada de e^{2t}y, logo
\frac{d}{dt}\big(e^{2t}y\big)=e^{2t}.
Integramos ambos os lados de 0 a t (isso facilita usar a condição inicial y(0)=0):
Breve interpretação: quando a forçante é constante igual a 1, a solução tende a um valor de equilíbrio 1/2 e a transiente é um decaimento exponencial e^{-2t}.
Passo 4
Avaliar y em t=1 para usar depois como condição inicial no segundo intervalo:
y(1)=\tfrac{1}{2}\big(1-e^{-2}\big).
Além disso, para t>1 a função g(t) salta para 0, então a solução deve ser contínua em t=1 e igual a esse valor no instante imediatamente após 1.
Passo 5
Resolver para t>1 (onde g(t)=0). A equação fica homogênea:
y'+2y=0.
Isto é uma equação separável ou linear homogênea; a solução geral é
y(t)=C\,e^{-2t},
onde C é constante a determinar. Usamos continuidade em t=1: y(1)=C\,e^{-2}=\tfrac{1}{2}\big(1-e^{-2}\big). Assim