Calcule as integrais abaixo, separando a parte par da ímpar, e usando as propriedades das integrais
integral-pi^pi(1-cos (x)) d x

Passo 1

Enunciado: calcular integral-pi^pi(1-cos x),dx. O conteúdo envolve integrais definidas, funções pares e ímpares e a linearidade de integrais. Vamos identificar a paridade do integrando e usar a propriedade de intervalo simétrico.

Passo 2

Analisar a paridade dos termos: a função 1 é par (pois 1=1), e a função cos x é par (pois cos(-x)=cos x). Portanto, 1-cos x é par. Não há parte ímpar a ser descartada.

Passo 3

Como 1-cos x é par, aplicamos a propriedade de integrais em intervalos simétricos:
integral-pi^pi(1-cos x),dx = 2integral0^pi(1-cos x),dx

Passo 4

Usando a linearidade, separamos a integral:
2integral0^pi(1-cos x),dx = 2l(integral0^pi1,dx - integral0^picos x,dxr)

Passo 5

Calcular integral0^pi1,dx: como a integral de 1 é o comprimento do intervalo, temos integral0^pi1,dx = pi.

Passo 6

Calcular integral0^picos x,dx: usando integralcos x,dx=sin x, obtemos integral0^picos x,dx = sin x|0^pi = sin pi - sin 0 = 0.

Passo 7

Substituindo os valores, fica:
2(pi - 0) = 2pi

Resposta

2\pi

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