Seja X um espaço vetorial normado.
Defina uma contração T: X X.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos uma aplicação T: X → X que seja uma contração, ou seja, que exista uma constante L < 1 tal que |T(x) - T(y)| <= L,|x - y| para todos x,y in X.

Passo 2

Uma construção simples é escolher um escalar alpha com 0 <= |alpha| < 1 e definir T por multiplicação escalar. Em outras palavras, para cada x in X definimos
T(x) = alpha,x

Passo 3

Vamos verificar que T é de fato uma contração. Para quaisquer x,y in X temos
|T(x) - T(y)| = |alpha x - alpha y| = |alpha|,|x - y|

Passo 4

Como escolhemos |alpha| < 1, basta definir L = |alpha| e obtemos
|T(x) - T(y)| <= L,|x - y| com L < 1,
mostrando que T é uma contração segundo a definição.

Resposta

Um exemplo de contração em X é
T(x) = alpha,x,
com alpha tal que 0 <= |alpha| < 1. Nesse caso |T(x)-T(y)| = |alpha||x-y| e escolhemos L = |alpha| < 1.

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