Seja
um espaço vetorial normado.
Defina uma contração
.
Defina uma contração
Passo 1
O enunciado pede para definirmos uma aplicação T: X → X que seja uma contração, ou seja, que exista uma constante L < 1 tal que
para todos
.
Passo 2
Uma construção simples é escolher um escalar
com
e definir T por multiplicação escalar. Em outras palavras, para cada
definimos
Passo 3
Vamos verificar que
é de fato uma contração. Para quaisquer
temos
Passo 4
Como escolhemos
, basta definir
e obtemos
mostrando que
Resposta
Um exemplo de contração em X é
com