Mostre que toda sequência de Cauchy num espaço vetorial normado é limitada, ou seja, dada uma sequência de Cauchy
existe
tal que
para todo
.
Dica: Existe
tal que
, então para
todo
está próximo de
e há uma quantidade finita de termos
com
.
Dica: Existe
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que toda sequência de Cauchy em um espaço vetorial normado é limitada. Ou seja, para uma sequência $ {x_n} $, existe um número $ L > 0 $ tal que $ |x_n| \leq L $ para todo $ n $. Para resolver isso, vamos usar a definição de sequência de Cauchy e algumas propriedades dos espaços normados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência de Cauchy. Uma sequência $ {x_n} $ é de Cauchy se, para todo $ \epsilon > 0 $, existe um índice $ N $ tal que para todos $ n, m \geq N $, temos $ |x_n - x_m| < \epsilon $. Isso significa que, à medida que a sequência avança, os termos ficam cada vez mais próximos uns dos outros.
Passo 3
Segundo a dica do exercício, existe um índice $ n_0 $ tal que para todo $ n, m \geq n_0 $, $ |x_n - x_m| < 1 $. Vamos fixar $ m = n_0 $. Então, para todo $ n \geq n_0 $, temos:
Passo 4
A partir dessa desigualdade, podemos usar a desigualdade triangular, que diz que $ |x + y| \leq |x| + |y| $. Aplicando isso, temos:
Isso nos mostra que, para todo $ n \geq n_0 $, $ |x_n| $ está limitado por $ 1 + |x_{n_0}| $.
Passo 5
Agora, precisamos considerar os termos da sequência com índice menor que $ n_0 $, ou seja, $ n < n_0 $. Como são apenas um número finito de termos, podemos encontrar o máximo desses valores:
Passo 6
Para determinar o limite $ L $ que vamos usar para toda a sequência, vamos escolher:
Dessa forma, para todo $ n $, seja $ n < n_0 $ ou $ n \geq n_0 $, temos $ |x_n| \leq L $.
Resposta
Portanto, mostramos que toda sequência de Cauchy em um espaço vetorial normado é limitada, existindo um $ L > 0 $ tal que $ |x_n| \leq L $ para todo $ n $.