Calcule as integrais abaixo por substituição trigonométrica:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver uma integral usando substituição trigonométrica. O exercício que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma raiz quadrada com um polinômio dentro. Vamos precisar usar a substituição trigonométrica para simplificar essa integral e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz quadrada:
. Isso se parece com a identidade trigonométrica
. Então, vamos fazer uma substituição onde
.
Passo 3
Com
, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Sabemos que
. Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar
. Lembrando que
e
, temos:
Podemos fazer uma substituição aqui: deixe
, então
. A integral se torna:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, podemos desenhar um triângulo retângulo onde o ângulo
tem:
- Ocateto oposto =
- Ocateto adjacente =
- Hipotenusa =
Sabemos que
. Portanto:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da integral:
Resposta
A integral é igual a
.