Calcule as integrais abaixo por substituição trigonométrica:
integral xraiz1+x^2 d x

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver uma integral usando substituição trigonométrica. O exercício que temos é:
integral xraiz1+x^2 , dx
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma raiz quadrada com um polinômio dentro. Vamos precisar usar a substituição trigonométrica para simplificar essa integral e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz quadrada: . Isso se parece com a identidade trigonométrica . Então, vamos fazer uma substituição onde .

Passo 3

Com dx = sec^2 theta , dtheta , precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados:

Passo 4

Agora, substituímos integral tan thetaraiz1 + tan^2 theta cdot sec^2 theta , dtheta e integral tan thetasec theta cdot sec^2 theta , dtheta = integral tan theta cdot sec theta , dtheta na integral original:
Sabemos que . Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral sin thetacos theta cdot 1cos theta , dtheta = integral sin thetacos^2 theta , dtheta . Lembrando que - integral 1u^2 , du = - ( -1u ) + C = 1u + C e 1cos theta + C = sec theta + C , temos:
Podemos fazer uma substituição aqui: deixe , então . A integral se torna:
Substituindo :

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original sec theta = raiz1 + x^2 . Lembrando que , podemos desenhar um triângulo retângulo onde o ângulo tem:
  • Ocateto oposto =
  • Ocateto adjacente =
  • Hipotenusa =
Sabemos que . Portanto:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da integral:
sec theta + C = raiz1 + x^2 + C

Resposta

A integral é igual a .

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