Determine o valor máximo e o valor mínimo absolutos da função
no conjunto
indicado:
e
e
.} (ver Guidorizzi, vol.2)
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores absolutos máximo e mínimo de f(x,y)=x³+y³−3x−3y no conjunto fechado e limitado D={[0,2]×[−2,2]}. O conteúdo envolvido é o estudo de extremos de funções de duas variáveis em domínios fechados, usando pontos críticos internos (gradiente nulo) e análise de fronteira.
Passo 2
Para achar pontos críticos internos, calculamos o gradiente:
$$
∂f/∂x = 3x²−3,$$
Igualando a zero, obtemos x²=1 e y²=1. No domínio D isso gera dois pares: (x,y)=(1,1) e (1,−1).
Passo 3
Avaliamos f nos pontos críticos internos:
Para (1,1):
Para (1,1):
Para (1,−1):
Passo 4
Agora examinamos as quatro arestas de D, reduzindo f a funções univariadas e procurando extremos:
Aresta x=0, y∈[−2,2]: g(y)=f(0,y)=y³−3y. Derivada g′(y)=3y²−3=0 ⇒ y=±1. Avaliamos em y=−2,−1,1,2 e obtemos f={−2,2,−2,2}.
Aresta x=2, y∈[−2,2]: h(y)=8+y³−6−3y=y³−3y+2. h′(y)=3y²−3=0 ⇒ y=±1. Avaliamos em y=−2,−1,1,2: f={0,4,0,4}.
Aresta y=−2, x∈[0,2]: p(x)=x³−8−3x+6=x³−3x−2. p′(x)=3x²−3=0 ⇒ x=1. Avaliamos em x=0,1,2: f={−2,−4,0}.
Aresta y=2, x∈[0,2]: q(x)=x³+8−3x−6=x³−3x+2. q′(x)=3x²−3=0 ⇒ x=1. Avaliamos em x=0,1,2: f={2,0,4}.
Aresta x=0, y∈[−2,2]: g(y)=f(0,y)=y³−3y. Derivada g′(y)=3y²−3=0 ⇒ y=±1. Avaliamos em y=−2,−1,1,2 e obtemos f={−2,2,−2,2}.
Aresta x=2, y∈[−2,2]: h(y)=8+y³−6−3y=y³−3y+2. h′(y)=3y²−3=0 ⇒ y=±1. Avaliamos em y=−2,−1,1,2: f={0,4,0,4}.
Aresta y=−2, x∈[0,2]: p(x)=x³−8−3x+6=x³−3x−2. p′(x)=3x²−3=0 ⇒ x=1. Avaliamos em x=0,1,2: f={−2,−4,0}.
Aresta y=2, x∈[0,2]: q(x)=x³+8−3x−6=x³−3x+2. q′(x)=3x²−3=0 ⇒ x=1. Avaliamos em x=0,1,2: f={2,0,4}.
Passo 5
Reunindo todos os valores de f obtidos (internos e na fronteira), temos: −4,−2,0,2,4. Portanto, o valor mínimo absoluto de f em D é −4 e o valor máximo absoluto é 4.
Resposta
Valor mínimo absoluto: −4. Valor máximo absoluto: 4.