Classifique os pontos críticos das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado quer que a gente encontre e classifique os pontos críticos da função de duas variáveis
. Este conteúdo trata de derivadas parciais e do teste da matriz Hessiana para classificar extremos locais ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Em seguida, achamos os pontos onde ambas as derivadas parciais são zero:
Passo 4
Da segunda equação
vem
. Substituindo em
temos:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática
, o discriminante é
. Logo:
Passo 6
Para classificar, precisamos da matriz Hessiana. As segundas derivadas são:
Passo 7
Avaliaremos
e
em cada ponto:
Para :
e
. Como
e
, é um mínimo local.
Para :
e
. Como
, é um ponto de sela.
Para
Para
Resposta
Os pontos críticos são (5/3, –5/3), que é um mínimo local, e (–1, 1), que é um ponto de sela.