Classifique os pontos críticos das funções abaixo.
f(x, y)=x^3+2 x y+y^2-5 x

Passo 1

O enunciado quer que a gente encontre e classifique os pontos críticos da função de duas variáveis f(x,y)=x^3+2xy+y^2-5x. Este conteúdo trata de derivadas parciais e do teste da matriz Hessiana para classificar extremos locais ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f:
fx=partial fpartial x=3x^2+2y-5, fy=partial fpartial y=2x+2y

Passo 3

Em seguida, achamos os pontos onde ambas as derivadas parciais são zero:
3x^2+2y-5=0,2x+2y=0

Passo 4

Da segunda equação 2x+2y=0 vem y=-x. Substituindo em 3x^2+2y-5=0 temos:
3x^2+2(-x)-5=0Longrightarrow3x^2-2x-5=0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática 3x^2-2x-5=0, o discriminante é De. Logo:
x=2pm86=106=53ou x=-66=-1Então os pontos críticos são (5/3,-5/3) e (-1,1).

Passo 6

Para classificar, precisamos da matriz Hessiana. As segundas derivadas são:
fxx=6x, fxy=2, fyy=2O determinante da Hessiana é
D(x,y)=fxxfyy-fxy^2=6xcdot2-2^2=12x-4

Passo 7

Avaliaremos D e fxx em cada ponto:
Para (5/3,-5/3): fxx=6cdottfrac53=10>0 e D=12cdottfrac53-4=20-4=16>0. Como D>0 e fxx>0, é um mínimo local.
Para (-1,1): fxx=6cdot(-1)=-6<0 e D=12cdot(-1)-4=-12-4=-16<0. Como D<0, é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos são (5/3, –5/3), que é um mínimo local, e (–1, 1), que é um ponto de sela.

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