Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.
integral x^2 e^raizx d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x^2 e^raizx ,dx usando integração por partes após uma substituição apropriada. Vamos precisar combinar uma substituição que simplifique o expoente raizx com o método de redução em integrais do tipo integral t^n e^t dt.

Passo 2

Fazendo a substituição t = raizx, temos
x = t^2, dx = 2t,dt, x^2 = t^4

Passo 3

Portanto
integral x^2 e^raizx ,dx = integral t^4 e^t cdot 2t,dt = 2 integral t^5 e^t ,dt

Passo 4

Para calcular integral t^5 e^t dt, usamos a fórmula de redução
In = integral t^n e^t dt = t^n e^t - n integral t^n-1 e^t dt = t^n e^t - n In-1

Passo 5

Calculando recursivamente:
I0 = e^t,
I1 = t e^t - e^t,
I2 = t^2 e^t - 2t e^t + 2e^t,
I3 = t^3 e^t - 3t^2 e^t + 6t e^t - 6e^t,
I4 = t^4 e^t - 4t^3 e^t + 12t^2 e^t - 24t e^t + 24e^t,
I5 = t^5 e^t - 5t^4 e^t + 20t^3 e^t - 60t^2 e^t + 120t e^t - 120e^t

Passo 6

Então
2 integral t^5 e^t dt = 2 I5 = 2l(t^5 e^t -5t^4 e^t +20t^3 e^t -60t^2 e^t +120t e^t -120e^tr) + C

Passo 7

Por fim, voltando a x com t=raizx:
2e^raizxl(x^5/2 -5x^2 +20x^3/2 -60x +120raizx -120r) + C

Resposta

2e{\sqrt{x}}\bigl(x{5/2} -5x^2 +20x^{3/2} -60x +120\sqrt{x} -120\bigr) + C

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