Derive a função
f(x)=raizx sen x+x^1 / 3
Escolha uma opção:
f^prime(x)=sen x-x cos xraizx+12 raiz[3]x^2
f^prime(x)=12 raizx sen x+raizx cos x-13 x^-2 / 3
f^prime(x)=sen x+2 x cos x2 raizx-23 raizx^2
f^prime(x)=sen x+2 x cos x2 raizx-23 raiz[3]x^2
f^prime(x)=12 raizx sen x+raizx cos x+13 x^-2 / 3
f^prime(x)=12 raizx sen x-raizx cos x-23 x^-1 / 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente derivar a função $ f(x) = \sqrt{x} \cdot \sin x + x^{1/3} $. Vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente usando a regra do produto e a regra da potência. Precisamos saber como derivar funções envolvendo raízes, senos e potências fracionárias.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira parte da função: $ \sqrt{x} \cdot \sin x $. Essa é um produto de duas funções, então vamos usar a regra do produto. A regra do produto diz que se você tem duas funções, digamos $ u(x) $ e $ v(x) $, então a derivada do produto é:
raizx cdot sin x
Aqui, $ u(x) = \sqrt{x} $ e $ v(x) = \sin x $.

Passo 3

Vamos derivar $ u(x) = \sqrt{x} $. Sabemos que $ \sqrt{x} = x^{1/2} $. A regra da potência diz que:
u(x) = raizx
Aplicando isso:
raizx = x^1/2

Passo 4

Agora, vamos derivar $ v(x) = \sin x $. A derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $:
v(x) = sin x

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
ddx ( raizx cdot sin x ) = u'v + uv' = 12raizx cdot sin x + raizx cdot cos x

Passo 6

Agora, vamos derivar a segunda parte da função: $ x^{1/3} $. Usando a regra da potência:
x^1/3

Passo 7

Juntando as duas derivadas que encontramos:
f'(x) = 12raizx cdot sin x + raizx cdot cos x + 13raiz[3]x^2

Resposta

A derivada de $ f(x) $ é:
f(x)

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