Derive a função
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente derivar a função $ f(x) = \sqrt{x} \cdot \sin x + x^{1/3} $. Vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente usando a regra do produto e a regra da potência. Precisamos saber como derivar funções envolvendo raízes, senos e potências fracionárias.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira parte da função: $ \sqrt{x} \cdot \sin x $. Essa é um produto de duas funções, então vamos usar a regra do produto. A regra do produto diz que se você tem duas funções, digamos $ u(x) $ e $ v(x) $, então a derivada do produto é:
Aqui, $ u(x) = \sqrt{x} $ e $ v(x) = \sin x $.
Passo 3
Vamos derivar $ u(x) = \sqrt{x} $. Sabemos que $ \sqrt{x} = x^{1/2} $. A regra da potência diz que:
Aplicando isso:
Passo 4
Agora, vamos derivar $ v(x) = \sin x $. A derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $:
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Passo 6
Agora, vamos derivar a segunda parte da função: $ x^{1/3} $. Usando a regra da potência:
Passo 7
Juntando as duas derivadas que encontramos:
Resposta
A derivada de $ f(x) $ é: