Tente explicar por que um sinal de energia tem potência nula e por que um sinal de potência tem energia infinita.

Passo 1

Neste exercício vamos mostrar, com base nas definições formais, por que um sinal de energia possui potência média nula e por que um sinal de potência possui energia total infinita. Para isso precisamos usar as expressões de energia e potência de sinais contínuos.

Passo 2

A energia de um sinal x(t) é definida como
E = integral-infty^infty |x(t)|^2 , dt
e a potência média como
bar P = limTtoinfty 12T integral-T^T |x(t)|^2 , dt
Aqui E representa a energia total e bar P a potência média ao longo do tempo.

Passo 3

Para um sinal de energia vale 0 < E < infty. Definindo o integral parcial de energia
E(T) = integral-T^T |x(t)|^2 , dt
temos que E(T)to E quando Ttoinfty. Logo a potência média é
bar P = limTtoinfty E(T)2T = limTtoinfty E2T = 0
Ou seja, sinal de energia tem potência média nula.

Passo 4

Para um sinal de potência vale 0 < bar P < infty. Nesse caso o integral parcial de energia cresce linearmente com T:
E(T) = integral-T^T |x(t)|^2 , dt = 2T , bar P
Ao levar Ttoinfty, temos E(T)toinfty. Portanto o sinal de potência possui energia total infinita.

Passo 5

Intuitivamente, um sinal de energia concentra toda a sua energia em uma região de tempo finita, de modo que ao espalhar essa energia por um intervalo que tende a infinito a potência média fica cada vez menor (tende a zero). Já um sinal de potência mantém um nível constante de energia por unidade de tempo, de modo que acumulando essa potência por tempo infinito a energia total diverge.

Resposta

Um sinal de energia tem potência média nula porque sua energia total é finita e, ao calcular a média sobre intervalos cada vez maiores, essa energia dividida pelo tempo tende a zero. Por outro lado, um sinal de potência tem energia total infinita porque sua potência média é não nula e constante, e ao integrar essa potência por um intervalo de tempo ilimitado a energia cresce sem limites.

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