(2,5 pontos) Usando séries de potência, encontre a solução da EDO
y^prime prime-2 x y^prime+y=0
próximo ao ponto ordinário x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - 2x y’ + y = 0 $ usando séries de potência, focando no ponto $ x = 0 $. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais e séries de potência. Vamos precisar expandir a solução em uma série de potências e determinar os coeficientes dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução $ y(x) $ pode ser escrita como uma série de potências em torno de $ x = 0 $:
y(x)
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que vamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de $ y(x) $:
A primeira derivada:
y(x)
A segunda derivada:
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1
Essas derivadas são necessárias para substituir na equação diferencial original.

Passo 4

Substituímos $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação diferencial $ y’’ - 2x y’ + y = 0 $:
y

Passo 5

Vamos ajustar os índices das somas para que todas as séries tenham $ x^n $ como termo geral. Para isso, fazemos uma mudança de índice no primeiro termo:
x^n

Passo 6

Agora, combinamos as somas para termos com o mesmo $ x^n $:
x^n
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo $ x $, cada coeficiente de $ x^n $ deve ser igual a zero.

Passo 7

Isso nos dá a relação de recorrência para os coeficientes:
(n+2)(n+1) an+2 - (2n - 1) an = 0
Simplificando:
an+2 = 2n - 1(n+2)(n+1) an

Passo 8

Com essa relação, podemos determinar os coeficientes $ a_n $ em termos de $ a_0 $ e $ a_1 $. Isso significa que a solução geral será uma combinação das duas soluções independentes geradas por $ a_0 $ e $ a_1 $.

Passo 9

Calculando os primeiros coeficientes:
Para $ n = 0 $:
n = 0
Para $ n = 1 $:
a2 = 2(0) - 12 cdot 1 a0 = -12 a0
Continuando esse processo, encontramos mais coeficientes.

Resposta

A solução da EDO $ y’’ - 2x y’ + y = 0 $ próxima a $ x = 0 $ é dada por uma série de potência:
y'' - 2x y' + y = 0
Onde $ a_0 $ e $ a_1 $ são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais específicas.

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