(2,5 pontos) Usando séries de potência, encontre a solução da EDO
próximo ao ponto ordinário
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - 2x y’ + y = 0 $ usando séries de potência, focando no ponto $ x = 0 $. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais e séries de potência. Vamos precisar expandir a solução em uma série de potências e determinar os coeficientes dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução $ y(x) $ pode ser escrita como uma série de potências em torno de $ x = 0 $:
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que vamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de $ y(x) $:
A primeira derivada:
A segunda derivada:
Essas derivadas são necessárias para substituir na equação diferencial original.
Passo 4
Substituímos $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação diferencial $ y’’ - 2x y’ + y = 0 $:
Passo 5
Vamos ajustar os índices das somas para que todas as séries tenham $ x^n $ como termo geral. Para isso, fazemos uma mudança de índice no primeiro termo:
Passo 6
Agora, combinamos as somas para termos com o mesmo $ x^n $:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo $ x $, cada coeficiente de $ x^n $ deve ser igual a zero.
Passo 7
Isso nos dá a relação de recorrência para os coeficientes:
Simplificando:
Passo 8
Com essa relação, podemos determinar os coeficientes $ a_n $ em termos de $ a_0 $ e $ a_1 $. Isso significa que a solução geral será uma combinação das duas soluções independentes geradas por $ a_0 $ e $ a_1 $.
Passo 9
Calculando os primeiros coeficientes:
Para $ n = 0 $:
Para $ n = 1 $:
Continuando esse processo, encontramos mais coeficientes.
Resposta
A solução da EDO $ y’’ - 2x y’ + y = 0 $ próxima a $ x = 0 $ é dada por uma série de potência:
Onde $ a_0 $ e $ a_1 $ são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais específicas.