Calcule as integrais abaixo usando frações parciais:

Passo 1

A gente quer calcular a integral integraldx(x^2+1)(x^2+4). Isso é uma função racional, então vamos usar decomposição em frações parciais e depois as integrais padrão de integral dx/(x^2+a^2).

Passo 2

Para decompor em frações parciais, escrevemos
1(x^2+1)(x^2+4) = Ax^2+1 + Bx^2+4
Multiplicando por (x^2+1)(x^2+4) e agrupando termos:
1 = A(x^2+4) + B(x^2+1) = (A+B)x^2 + (4A+B)
Igualando coeficientes de x^2 e termo constante:
A + B = 0, 4A + B = 1
Daí obtemos A=1/3 e B=-1/3.

Passo 3

Substituindo A e B na integral, ela vira a soma de duas integrais:
integraldx(x^2+1)(x^2+4) = 13integraldxx^2+1 - 13integraldxx^2+4

Passo 4

Agora usamos a fórmula
integraldxx^2 + a^2 = 1aarctanl(tfracxar) + C
Assim,
integraldxx^2+1 = arctan(x),
integraldxx^2+4 = 12arctanl(tfracx2r)

Passo 5

Por fim, somamos as duas partes com seus coeficientes e adicionamos a constante de integração para obter a antiderivada completa.

Resposta

tfrac13arctan(x) - tfrac16arctanl(tfracx2r) + C

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