Calcule as integrais abaixo usando frações parciais:
integral x^2+2 x-1x^3-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^2+2x-1x^3-x ,dx. O conteúdo principal é a técnica de frações parciais em integração de funções racionais: vamos precisar fatorar o denominador e decompor a função em somatório de frações simples.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^3 - x = x(x^2-1) = x(x-1)(x+1)
Assim, podemos escrever
x^2+2x-1x(x-1)(x+1) = Ax + Bx-1 + Cx+1

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x(x-1)(x+1), obtemos
x^2 + 2x -1 = A(x-1)(x+1) + B,x(x+1) + C,x(x-1)
Expandindo e coletando termos, isso vira
(A+B+C)x^2 + (B-C)x - A
Comparando com x^2+2x-1, formamos o sistema
A+B+C = 1,
B - C = 2,
-A = -1

Passo 4

Da terceira equação vem A=1. Substituindo em A+B+C=1, obtemos B+C=0. Juntando com B-C=2 resulta em B=1 e C=-1. Logo a decomposição é
x^2+2x-1x^3-x = 1x + 1x-1 - 1x+1

Passo 5

Agora integramos cada termo separadamente usando integral 1x-a dx = ln|x-a| + C:
integral 1x dx = ln|x|,
integral 1x-1 dx = ln|x-1|,
integral -1x+1 dx = -ln|x+1|

Passo 6

Somando os resultados, a integral vale
ln|x| + ln|x-1| - ln|x+1| + C

Resposta

ln!l|x(x-1)x+1r| + C

Exercícios relacionados