Calcule as integrais abaixo usando frações parciais:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^3(x^2+2)^2,dx usando frações parciais. O conteúdo envolvido é a decomposição de expressão racional e depois aplicação de substituição para integrar cada termo resultante.

Passo 2

Observamos que podemos reescrever o numerador para facilitar a decomposição:
x^3(x^2+2)^2=x(x^2+2)-2x(x^2+2)^2=xx^2+2-2x(x^2+2)^2
Isso nos separa em duas integrais mais simples.

Passo 3

Primeiro, integramos integral xx^2+2,dx. Fazendo a substituição u=x^2+2, temos du=2x,dx ou x,dx=du/2. Logo:
integral xx^2+2,dx=12integral duu=12ln|u|+C1=12ln(x^2+2)+C1

Passo 4

Agora, integramos integral x(x^2+2)^2,dx usando a mesma substituição u=x^2+2, du=2x,dx. Então x,dx=du/2 e:
integral x(x^2+2)^2,dx=12integral u^-2,du=12l(-u^-1r)+C2=-12(x^2+2)+C2
Voltando à integral original, juntamos os resultados e lembramos do fator -2) no segundo termo:
integral x^3(x^2+2)^2,dx=12ln(x^2+2)-2l(-12(x^2+2)r)+C=12ln(x^2+2)+1x^2+2+C

Resposta

12ln(x^2+2)+1x^2+2+C

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