Calcule as integrais abaixo usando frações parciais:
\int \frac{x^{2}+x+1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{x^{2}+x+1}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}\,dx
usando decomposição em frações parciais. Vamos escrever a função racional como soma de termos do tipo \frac{A}{x^{2}+1} e \frac{Bx+C}{(x^{2}+1)^{2}} e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Assumimos a forma
\frac{x^{2}+x+1}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{A}{x^{2}+1} + \frac{B\,x + C}{(x^{2}+1)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (x^{2}+1)^{2} obtemos
x^{2}+x+1 = A\,(x^{2}+1) + (B\,x + C).

Passo 3

Expandindo e coletando termos em potências de x\): \[A\,x^{2} + A + B\,x + C = x^{2} + x + 1.
Comparando coeficientes:
\begin{cases} x^{2}: & A = 1,\\\ x^{1}: & B = 1,\\\ x^{0}: & A + C = 1 \;\Longrightarrow\; 1 + C = 1 \;\Longrightarrow\; C = 0. \end{cases}
Logo A=1\], \(B=1, C=0.

Passo 4

A decomposição fica
\frac{x^{2}+x+1}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{1}{x^{2}+1} + \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Portanto
\int \frac{x^{2}+x+1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx + \int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.

Passo 5

Para a primeira integral usamos a primitiva da função arctan:
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan(x).

Passo 6

Para a segunda integral fazemos u = x^{2}+1, de modo que du = 2x\,dx, isto é, x\,dx = \tfrac{1}{2}du. Logo,
\int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \frac12 \int \frac{du}{u^{2}} = \frac12 \bigl(-\frac{1}{u}\bigr) = -\frac{1}{2\,(x^{2}+1)}.

Resposta

\int \frac{x^{2}+x+1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \arctan(x) - \frac{1}{2\,(x^{2}+1)} + C.

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