Calcule as integrais abaixo usando frações parciais: \int \frac{x^{2}+x+1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x Passo 1O enunciado pede calcular \int \frac{x^{2}+x+1}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}\,dx usando decomposição em frações parciais. Vamos escrever a função racional como soma de termos do tipo \frac{A}{x^{2}+1} e \frac{Bx+C}{(x^{2}+1)^{2}} e depois integrar termo a termo. Passo 2Assumimos a forma \frac{x^{2}+x+1}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{A}{x^{2}+1} + \frac{B\,x + C}{(x^{2}+1)^{2}}. Multiplicando ambos os lados por (x^{2}+1)^{2} obtemos x^{2}+x+1 = A\,(x^{2}+1) + (B\,x + C). Passo 3Expandindo e coletando termos em potências de x\): \[A\,x^{2} + A + B\,x + C = x^{2} + x + 1. Comparando coeficientes: \begin{cases} x^{2}: & A = 1,\\\ x^{1}: & B = 1,\\\ x^{0}: & A + C = 1 \;\Longrightarrow\; 1 + C = 1 \;\Longrightarrow\; C = 0. \end{cases} Logo A=1\], \(B=1, C=0. Passo 4A decomposição fica \frac{x^{2}+x+1}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{1}{x^{2}+1} + \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}. Portanto \int \frac{x^{2}+x+1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx + \int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx. Passo 5Para a primeira integral usamos a primitiva da função arctan: \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan(x). Passo 6Para a segunda integral fazemos u = x^{2}+1, de modo que du = 2x\,dx, isto é, x\,dx = \tfrac{1}{2}du. Logo, \int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \frac12 \int \frac{du}{u^{2}} = \frac12 \bigl(-\frac{1}{u}\bigr) = -\frac{1}{2\,(x^{2}+1)}. Resposta \int \frac{x^{2}+x+1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \arctan(x) - \frac{1}{2\,(x^{2}+1)} + C. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosUse a técnica de integração por partes para resolver as integrais abaixo. Derive para verificar a solução. \int x \ln \left(x^{2}\right) d x Use a técnica de integração por partes para resolver as integrais abaixo. Derive para verificar a solução. \int x \ln \left(x^{2}\right) d x Use a técnica de integração por partes para resolver as integrais abaixo. Derive para verificar a solução. \int x \arctan x d x Calcule as integrais indefinidas abaixo: \int \operatorname{sen} 3 x \cos 5 x d x