Use a técnica de integração por partes para resolver as integrais abaixo. Derive para verificar a solução.
\int x \ln \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x \ln\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
usando a técnica de integração por partes e depois derivar o resultado para verificar. Vamos usar integração por partes diretamente sem assumir nada sobre o sinal de x.

Passo 2

Em integração por partes, escolhemos \displaystyle u = \ln\bigl(x^{2}\bigr)
e \displaystyle dv = x\,dx.
Isso porque a derivada de u simplifica a parte logarítmica e a antiderivada de dv é fácil de obter.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = \frac{d}{dx}\Bigl[\ln(x^{2})\Bigr]\,dx = \frac{2}{x}\,dx,
v = \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
obtemos
\int x \ln(x^{2})\,dx = \underbrace{\ln(x^{2})}_{u}\;\underbrace{\frac{x^{2}}{2}}_{v} - \int \frac{x^{2}}{2}\,\underbrace{\frac{2}{x}\,dx}_{du}.

Passo 5

Simplificando a integral que sobra:
\int x \ln(x^{2})\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\ln(x^{2}) - \int \Bigl(\frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{2}{x}\Bigr)dx = \frac{x^{2}}{2}\,\ln(x^{2}) - \int x\,dx.
E como \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}, temos
\int x \ln(x^{2})\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\ln(x^{2}) - \frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Podemos escrever de forma mais compacta:
\int x \ln(x^{2})\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\bigl[\ln(x^{2}) - 1\bigr] + C.

Passo 7

Para verificar, derivamos a solução:
\frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}(\ln(x^{2})-1)\Bigr] = \frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\ln(x^{2})\Bigr] - \frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr].
Agora,
\frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\ln(x^{2})\Bigr] = \underbrace{x}_{\frac{d}{dx}(x^{2}/2)}\ln(x^{2}) + \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{2}{x} = x\ln(x^{2}) + x,
\frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr] = x.
Subtraindo, fica
\bigl[x\ln(x^{2}) + x\bigr] - x = x\ln(x^{2}),
que é justamente o integrando original. Confirmado!

Resposta

\int x \ln(x^{2})\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\ln(x^{2}) - \frac{x^{2}}{2} + C.

Exercícios relacionados