Use a técnica de integração por partes para resolver as integrais abaixo. Derive para verificar a solução.
\int x \ln \left(x^{2}\right) d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int x \ln\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
usando a técnica de integração por partes e depois derivar o resultado para verificar. Vamos usar integração por partes diretamente sem assumir nada sobre o sinal de x.
Passo 2
Em integração por partes, escolhemos \displaystyle u = \ln\bigl(x^{2}\bigr)
e \displaystyle dv = x\,dx.
Isso porque a derivada de u simplifica a parte logarítmica e a antiderivada de dv é fácil de obter.
Passo 3
Calculamos du e v:
du = \frac{d}{dx}\Bigl[\ln(x^{2})\Bigr]\,dx = \frac{2}{x}\,dx,
v = \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
obtemos
\int x \ln(x^{2})\,dx = \underbrace{\ln(x^{2})}_{u}\;\underbrace{\frac{x^{2}}{2}}_{v} - \int \frac{x^{2}}{2}\,\underbrace{\frac{2}{x}\,dx}_{du}.